(FAMERP 2020) Em um plano cartesiano, dois vértices de um triângulo equilátero estão sobre a reta de equação y = 2x – 2. O terceiro vértice desse triângulo está sobre a reta de equação y = 2x + 2. A altura desse triângulo, na mesma unidade de medida dos eixos cartesianos ortogonais, é igual a

a) (4√3)/5
b) (3√3)/4
c) (2√5)/5
d) (4√5)/5
e) (√3)/2

Solução: questão de matemática da FAMERP 2020,  prova aplicada no dia 09/12/2019.

Uma questão muito interessante sobre geometria analítica, onde precisamos interpretar e visualizar que a altura deste triângulo equilátero, terá a mesma medida da distância entre as duas retas dadas, repare na ilustração a seguir:




As duas retas são paralelas e o que precisamos fazer é calcular a distância entre elas.  Uma vez tendo encontrado a distância entre essas duas retas, este valor é o mesmo da medida da altura do triângulo equilátero informado no enunciado.

E a partir de agora, vem uma pergunta: 

como podemos calcular a distância entre duas retas paralelas no plano cartesiano?

Na geometria analítica, podemos calcular a distância entre duas retas por meio da

fórmula da distância entre duas retas paralelas.

Sejam as retas paralelas:
ax + by + c1 = 0
ax + by + c2 = 0
As retas estão no formato de equação geral da reta.
A fórmula da distância entre as duas retas paralelas é dada por: 
distância =    |c1-c2|  
                            √a² + b² 
Uma curiosidade: note que retas paralelas (quando neste formato de equação geral da reta) possuem coeficientes a e b iguais, o que mudará é o valor de c, ou seja, a altura em que tais retas cortam o eixo y.  Se os valores de c também forem iguais, então essas retas serão coincidentes.

Voltando à questão, as equações de retas dadas foram:

 y = 2x – 2      e     y = 2x + 2

Estas retas estão no formato de equação reduzida da reta, vamos colocá-las no formato de equação geral da reta.

2x - y - 2 = 0    e    2x - y + 2 = 0

Finalmente, basta aplicar a fórmula da distância entre duas retas paralelas:

distância = |-2-(+2)|        =     |-4| 
                        √(2)² + (-1)²            √5   
                   
distância = 4 *  √5    = 4√5 
                       √5  * √5          5
 
Alternativa correta é a letra d).

Consideramos essa questão de matemática da FAMERP 2020 muito interessante e com uma forma bastante inteligente de cobrar os temas, aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da FAMERP.

Um forte abraço e bons estudos.