(FUVEST 2022) Os funcionários de um salão de beleza compraram um presente no valor de R$ 200,00 para a recepcionista do estabelecimento. No momento da divisão igualitária do valor, dois deles desistiram de participar e, por causa disso, cada pessoa que ficou no grupo precisou pagar R$ 5,00 a mais que a quantia originalmente prevista. O valor pago por pessoa que permaneceu na divisão do custo do presente foi: 

(A) R$ 10,00 (B) R$ 15,00 (C) R$ 20,00 (D) R$ 25,00 (E) R$ 40,00

Solução: questão de matemática da FUVEST 2022,  prova aplicada no dia 12/12/2021.

Uma questão muito interessante, repare que temos um sistema linear, sendo n (número de funcionários) e p (preço pago no 1º rateio).  Sendo assim:

n . p = 200  (equação I)

Como dois desistiram de participar e o rateio por pessoa aumentou em 5 reais, então temos uma segunda equação:

(n-2) . (p+5) = 200  (equação II)

Nosso objetivo é encontrar o valor pago por pessoa que permaneceu na divisão do custo do presente, ou seja: (p+5).

Como n é um número natural, então uma forma prática de resolvermos esse problema será decompondo o número 200 em fatores primos.

200 = 2 . 2 . 2 . 5 . 5

Há um forte indício para n = 2.5 = 10 e p = 2 . 2 . 5 = 20.  Pois também teremos,

n -2 = 8 = 2.2.2   (ok)
p+5 = 25 = 5.5 (também ok)

Sendo assim,  p + 5 = 25.
 
Alternativa correta é a letra (D) R$ 25,00

É possível que você não tenha identificado na hora da prova a possibilidade de resolver o sistema por meio da decomposição do número 200.  Neste caso, podemos resolver o sistema usando o método da substituição, um processo que será mais demorado:

n . p = 200   [equação I]
(n-2) . (p+5) = 200  [equação II]

Vamos desenvolver a equação II

np + 5n -2p - 10 = 200
200 + 5n -2p - 10 = 200
5n -2p - 10 = 0

Da equação I, temos que 

n = 200/p   ( e aplicamos na II)

5.(200/p) -2p - 10 = 0
1000/p  - 2p - 10 = 0

Multiplicamos todos por p

1000 - 2p² - 10p = 0

-2p² - 10p + 1000 = 0

Dividimos todos por -2

p² + 5p - 500 = 0

Resolvendo a equação do 2º grau, encontraremos a raiz positiva p =20.  E finalmente, p+5 = 20 + 5 = 25.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da FUVEST.

Um forte abraço e bons estudos.