(FUVEST 2022) Suponha que o polinômio 𝑝(𝑥) = x3 + mx - 2, em que 𝑚 é um número real, tenha uma raiz real dupla 𝑎 e uma raiz real simples 𝑏. O valor da soma de 𝑚 com 𝑎 é: 

(A) 0 (B) –1 (C) −2 (D) −3 (E) −4

Solução: questão de matemática da FUVEST 2022,  prova aplicada no dia 12/12/2021.

Uma questão muito interessante sobre polinômios, vamos resolvê-la duas vezes, utilizando dois métodos diferentes.

Método 1 de Resolução

Vamos utilizar  as relações de Girard no desenvolvimento dessa questão.

Sejam, x1, x2 e x3 as raízes da equação polinomial de grau 3 do tipo a.x³ + b.x²+cx + d = 0

Então, aplicam-se as relações de Girard:

x1+x2+x3 = -b/a     (Equação 1)

x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a   (Equação 2)

x1.x2.x3 = -d/a         (Equação 3)

*** Nesta questão, cuidado para não confundir os coeficientes a e b do polinômio p(x) com as suas raízes, que também possuem nomes a e b, este tipo de situação é comum em questões e é preciso estar atento.  Para p(x) temos os coeficientes (a,b,c,d) = (1,0,m,-2) e para as raízes de p(x) temos (x1, x2, x3) = (a, a, b).

a + a + b = -0/1 
2a + b = 0  (Equação I)

a.a + a.b + a.b = m/1
a² + 2ab  = m (Equação II)

a.a.b = -(-2)/1
a²b = 2 (Equação III)

Isolando b na Equação I
b = -2a (e agora aplicaremos na III)

a² (-2a) = 2
-2a³ = 2
a³ = -1
a = -1   e  b = -2(-1) = 2

Aplicando estes valores de a e b na II encontraremos m.

(-1)² + 2(-1)(2)  = m
1 - 4 = m
m = -3

E finalmente, a soma m + a = -3 + (-1) = -3 - 1 = - 4.  Alternativa correta é a letra e).


Método 2 de Resolução

Podemos escrever o polinômio:

𝑝(𝑥) = 1. x3 + mx - 2 da seguinte forma:

p(x) = 1 . (x-a)(x-a)(x-b)
p(x) = (x-a)²(x-b)

Agora, vamos desenvolvê-lo:

p(x) = (x² -2ax + a²)(x-b)
p(x) = x³ - bx² -2ax² + 2abx +a²x - a²b
p(x) = x³ + x²[-b -2a] + x[2ab+a²] - a²b
Que é igual a 
p(x) = x³ + 0.x² + mx - 2
Daí, podemos tirar as seguintes equações

-b -2a = 0    (Eq.I)
2ab+a² = m   (Eq.II)
a²b = 2   (Eq.III)

**Note que chegamos nas mesmas equações do método anterior:

-b = 2a
b = -2a  (aplicamos em III)

a²(-2a) = 2
-a³ = 1
a³ = -1
a = -1

-b - 2(-1) = 0
-b + 2 = 0
b = 2

2(-1)(2)+(-1)² = m
-4 + 1 = m
m = -3

E finalmente, a soma m + a = -3 + (-1) = -3 - 1 = - 4.  Alternativa correta é a letra e).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da FUVEST.

Um forte abraço e bons estudos.