(FAMEMA 2022) Os restos das divisões de um polinômio D(x) por x+2 e por x - 4 são, respectivamente, 4 e −2. 

O resto da divisão de D(x) por x² - 2x - 8 é 

(A) 2.
(B) x + 2.
(C) x - 2.
(D) - x + 2.
(E) - x - 2.

Solução: questão de matemática do Vestibular da Faculdade de Medicina de Marília, ano: 2022, banca examinadora: FGV.  Prova aplicada no dia 05/12/2021.

Ao dividirmos o polinômio D(x) por um divisor igual a x² - 2x - 8 teremos um quociente Q(x) e um resto R(x).  Podemos escrever da seguinte maneira:

D(x) = (x² - 2x - 8) . Q(x) + R(x)

O grau do divisor é 2, então o grau do resto tem que ser menor que 2. No máximo, o resto terá grau igual a 1.  

**Repare nas opções de resposta, todas elas são polinômios de grau 1 ou 0.

Vamos então substituir R(x) por ax+b.

D(x) = (x² - 2x - 8) . Q(x) + ax + b

Agora, vamos recorrer ao teorema do resto.  O enunciado afirma que 

>> o resto da divisão do polinômio D(x) por (x + 2) vale 4
>> o resto da divisão do polinômio D(x) por (x - 4) vale -2

De acordo com o Teorema do Resto, quando dividimos D(x) por um binômio da forma ax + b, temos que:

D ( raiz do binômio ) = Resto da divisão de D(x) por ax+b

Vamos então calcular as raízes dos binômios (x+2) e (x-4)

x + 2 = 0   e   x - 4 = 0
x = -2            x = 4

Então

D(-2) = 4
D(4) = -2

Vamos aplicar isso na expressão que obtivemos para D(x) 

D(-2) = ((-2)² - 2(-2) - 8) . Q(-2) + a.(-2) + b = 4

(4 + 4 - 8) . Q(-2) - 2a + b = 4
(0) . Q(-2) - 2a + b = 4
-2a + b = 4   (Equação 1)

D(4) = ((4)² - 2.(4) - 8) . Q(4) + a.4 + b = -2

(16 - 8 - 8) . Q(4) + 4a + b = -2
(0) . Q(4) + 4a + b = -2
4a + b = -2  (Equação 2)

Agora, para encontrarmos o resto R(x) = ax+b precisamos resolver esse sistema linear.  Vamos isolar b na Equação 1 e aplicar na Equação 2.

b = 4 + 2a

E aplicaremos este valor de b na Equação 2

4a + (4 + 2a) = -2
6a = -6
a = -1

b = 4 + 2a = 4 + 2(-1)
b = 4 - 2
b = 2

Finalmente, podemos concluir que R(x) = -x + 2.  Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da FAMEMA.

Um forte abraço e bons estudos.