(FAMEMA 2022) A reta de equação x + 2y  + 1 = 0 determina na circunferência ( x - 4)² + y² = 21 uma corda de comprimento igual a 

(A) 8. (B) 7. (C) 6√3. (D) 6√2. (E) 4√5.

Solução: questão de matemática do Vestibular da Faculdade de Medicina de Marília, ano: 2022, banca examinadora: FGV.  Prova aplicada no dia 05/12/2021.

Inicialmente, repare que a a circunferência está no formato de equação reduzida da circunferência:

(x-xc)² + (y-yc)² = R²
( x - 4)² + (y-0)² = (√21)²

Então, sabemos que a circunferência tem centro no ponto C(4,0) e raio R igual a √21.

Agora, vamos esboçar a circunferência e a reta para elaborarmos uma estratégia de resolução para essa questão de geometria analítica.




Perceba que nosso objetivo é calcular o comprimento da corda EG. Essa corda está dividida em dois comprimentos iguais a K, são eles EF e FG, exatamente porque traçamos desde o centro C até o ponto F um segmento de reta perpendicular a corda EG.  Toda vez que o diâmetro cruza uma corda formando um ângulo de 90° (ou seja, diâmetro perpendicular à corda) ele irá dividir a corda ao meio.

Esse princípio relativo às cordas em circunferências foi cobrado em uma outra questão sobre cordas da FGV / Vestibular FAMEMA 2022.  Recomendamos que você a estude também.

Perceba que sabemos qual é o ponto C(4,0) e sabemos qual é o raio R.  Desse modo, vamos trabalhar no triângulo retângulo CFG.

Nosso objetivo final é calcular EG = K + K = 2K.

Agora, temos um novo desafio, precisamos da medida do segmento CF que identificamos simplesmente como d.  Como podemos obtê-lo?  Simplesmente calculando a distância do ponto C(4,0) até a reta  x + 2y  + 1 = 0.

A fórmula da distância (d) de um ponto P (xo , yo) até a reta a.x + b.y + c = 0

d = | a . xo + b . yo + c  | 
              √(a² + b²)              


d = | 1 . 4 + 2 . 0 + 1  | /  √(1² + 2²)
d = | 4 + 1 | /  √(1 + 4)
d = | 5 | /  √5
d = 5/√5

Vamos multiplicar essa fração por √5/√5

d = (5/√5) * (√5/√5)
d = 5√5 / 5
d = √5

Agora, já podemos encontrar o valor de K por meio do Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo CFG.

d² + K² = R²
(√5)² + K² = (√21)²
5 + K² = 21
K² = 21 - 5
K² = 16
K = 4

Não podemos esquecer que nosso objetivo é calcular o comprimento da corda EG que é igual a
 
EG = K + K = 4 + 4 = 8.
 
Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da FAMEMA.

Um forte abraço e bons estudos.