(UFPR 2022) Na figura ao lado, temos uma circunferência de raio r>0 com centro na origem do plano complexo e, ao longo da circunferência, temos 6 números complexos: z1, z2, z3, z4, z5 e z6.  Supondo que os 6 números complexos são vértices de um hexágono regular e que z1 está no eixo x, considere as seguintes equações:


Assinale a alternativa correta. 

a) Somente a equação 3 é verdadeira.
b) Somente as equações 1 e 3 são verdadeiras.
c) Somente as equações 2 e 4 são verdadeiras.
d) Somente as equações 1, 2 e 4 são verdadeiras.
e) As equações 1, 2, 3 e 4 são verdadeiras.

Solução: questão de matemática do Vestibular UFPR 2022, prova do dia 13/02/2022.

Uma questão interessante que aborda operações com números complexos na forma polar, também conhecida como forma trigonométrica do número complexo.  

Re-lembrando, a forma polar ou trigonométrica de um número complexo z é dada por

z = |z| (cos θ + i sen θ)

Nos números complexos deste problema, o valor de |z| = r.  Vamos escrever a representação destes números complexos no plano de Argand-Gauss.



De posse dessas informações, vamos julgar as equações:

1.   z2 + z6 = r²

z2 = r cos 60° + r sen 60º. i
z6 = r cos 300° + r sen 300º. i

Sabemos que cos 300º = cos 60º e que sen 300° = - sen60°.  Sendo assim, pode escrever z6 como

z6 = r cos 60° - r sen 60º. i

Somando z2 + z6

r cos 60° + r sen 60º. i + r cos 60° - r sen 60º. i
2 r cos 60º
2 r (1/2)
r

Note que z2 + z6 = r.  A equação 1 é, portanto, falsa.

2.   z3 = z5

Vamos concluir que esta é verdadeira, pois o conjugado de z3 é o z5. O número z3 representa o conjugado de z3.  Dado um número complexo z =  a + bi, para encontrar o seu conjugado, basta inverter o sinal da parte imaginária, sendo assim,  

z = a + bi

z = a - bi.  (conjugado de z)

Perceba na figura que z3 e z5 possuem a mesma parte real e a parte imaginária com sinais trocados.

Também podemos verificar isto matematicamente:

z3 = r cos 120º + r sen 120º i
cos 120° = - cos 60°
sen 120° = sen 60°
z3 = - r cos 60° + r sen 60° i

z3 = - r cos 60° - r sen 60° i

z5 = r cos 240° + r sen 240° i
cos 240° = - cos 60°
sen 240° = - sen 60°
z5 = - r cos 60° - r sen 60° i
 
Note que z3 = z5

Equação 2 é verdadeira.

3 .    z2 . z3 = z4

Podemos multiplicar dois números complexos na forma polar fazendo o produto entre seus módulos e somando os seus argumentos.

z2 = r (cos60° + i sen60°)
z3 = r (cos120° + i sen120°)

z2 . z3 = r . r [ cos(60° + 120°) + i sen(60° + 120°) ]
z2 . z3 = r² . (cos180° + i sen180°)   

Note que z2 . z3 não é igual a z4.

Equação 3 é falsa.


4.   z5/z6 = z6/r

Na divisão entre dois números complexos na forma polar, nós dividimos os módulos e subtraímos os argumentos.

z5 = r (cos 240° + i sen 240°)
z6 = r (cos 300° + i sen 300º)

z5/z6 = r/r [ cos(240° - 300°) + i sen(240° - 300°) ]
z5/z6 = cos(-60°) + i sen(-60°) 

Agora, vamos calcular z6/r , esta é uma divisão de um número complexo por um número real, para isso, basta dividir tanto a parte imaginária quanto a parte real do número complexo pelo número real igual a r.

z6/r 
r (cos 300° + i sen 300º) / r
cos 300° + i sen 300º

Note que z5/z6  =  z6/r
cos(-60°) + i sen(-60°)  = cos 300° + i sen 300º

Isto porque o cos (-60°) = cos 300° = cos 60° e também o sen (-60°) = sen 300° = - sen 60°.

Equação 4 é verdadeira.

Alternativa correta é a letra c) Somente as equações 2 e 4 são verdadeiras.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFPR.

Um forte abraço e bons estudos.