(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2019) Os lados de um triângulo medem 30 cm, 70 cm e 80 cm.  Ao traçarmos a altura desse triângulo em relação ao maior lado, dividiremos esse lado em dois segmentos.  Sendo assim, calcule o valor do menor segmento em centímetros e assinale a opção correta.

a) 15
b) 14
c) 13
d) 12
e) 11

Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2019, prova do dia 14/04/2019.

Uma questão muito interessante de geometria plana, podemos resolvê-la de diversas maneiras, vamos adotar a lei dos cossenos.  Inicialmente, vamos ilustrar esse triângulo e a altura relativa ao maior lado.


Nosso objetivo é encontrar o valor do segmento AD, ilustrado em vermelho com o valor de X.

Repare, no triângulo retângulo ABD, que cos α = AD/AB.

cos α = X/30

Além disso, no triângulo ABC, podemos aplicar a lei dos cossenos:

70² = 30² + 80² - 2 . 30 . 80 . cos α

O que vamos fazer agora é substituir cos α por X/30.

70² = 30² + 80² - 2 . 30 . 80 . (X/30)

Agora, basta desenvolvermos essa equação e chegaremos ao valor de X.

4900 = 900 + 6400 - 4800 (X/30)
-2400 = -160 . X
X = -2400 / -160
X = 15

Alternativa correta é a letra a).

Curiosidade:  essa questão também pode ser resolvida aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos ABD e BDC, e igualando os valores de h².  Fazendo isso, encontraremos X = 15.

Também pode ser resolvida por meio da fórmula de Heron.  Com ela, podemos obter a área do triângulo e igualar este valor a (base x altura)/2, ou seja, (80h)/2.  Com isso, pegaremos o valor de h.  Com ele, basta encontrar X no triângulo retângulo ABD usando o Teorema de Pitágoras.  

Esses dois métodos alternativos também nos levam ao valor de X=15.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do concurso de admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros. 

Um forte abraço e bons estudos.