(ENEM 2021) Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra.  Essa constante de proporcionalidade é comumente representada pela letra grega φ, e seu valor é dado pela solução positiva da equação φ ² = φ + 1.

Assim como a potência φ², as potências superiores de φ podem ser expressas da forma aφ + b, em que a e b são inteiros positivos, como apresentado no quadro.

A potência φ7, escrita na forma aφ + b (a e b são inteiros positivos), é

a) 5φ + 3
b) 7φ + 2
c) 9φ + 6
d) 11φ + 7
e) 13φ + 8

Solução: questão de matemática do ENEM 2021,  prova aplicada no dia 28/11/2021.

Analisando as potências de φ, podemos identificar o seguinte padrão de desenvolvimento desta sequência:
  • Em primeiro lugar, o valor de a na "potência anterior" será o valor de b na "potência seguinte".

E isto já nos leva a concluir o seguinte:  como o valor de  φ6 = 8φ + 5
ou seja, a = 8, então o valor de b de  φ7 será igual a 8.  Logo:   φ7 = aφ + 8

Perceba que com essa conclusão, já poderíamos marcar alternativa e).  Entretanto, vamos seguir na resolução.


  • Em segundo lugar, o valor de (a+b) da "potência anterior" será o valor de a da "potência seguinte".


E isto também nos leva a concluir que o valor de a na potência de φ7   será o valor de (a+b) da potência de φ6   , ou seja, (8+5) = 13.  Então, o valor de a na potência de φ7 vale 13 e com isto podemos escrever:

φ7 = aφ + 8
φ7 = 13φ + 8
 
Alternativa correta é a letra e).

Ilustrando:  como seria o quadro com a potência φ7 .


Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do ENEM.

Um forte abraço e bons estudos.