(UERJ 2017) Considere o gráfico a seguir, em que a área S é limitada pelos eixos coordenados, pela reta r, que passa por A(0,4) e B(2,0), e pela reta perpendicular ao eixo x no ponto P(xo,0), sendo 0 ≤ xo ≤ 2.

(UERJ 2017) Considere o gráfico a seguir, em que a área S é limitada pelos eixos coordenados, pela reta r, que passa por A(0,4) e B(2,0), e pela reta perpendicular ao eixo x no ponto P(x_o,0), sendo 0 ≤ x_o ≤ 2.

Para que a área S seja a metade da área do triângulo de vértices C(0,0), A e B, o valor de x_o deve ser igual a:

a) 2 - √2
b) 3 - √2
c) 4 - 2√2
d) 5 - 2√2

Solução: questão de matemática do Vestibular UERJ 2017, prova do dia 12/06/2016 (1° Exame de Qualificação).

Uma questão muito rica e interessante que aborda conhecimentos de geometria analítica e geometria plana. Vamos resolvê-la passo a passo. Em primeiro lugar, vamos calcular a área do triângulo ABC:

Área de ABC = (BC x AC) /2

Área de ABC = (2 x 4) /2

Área de ABC = 4

O objetivo da questão é encontrar x_o de modo que a área S tenha a metade da área do triângulo ABC, ou seja, S = (4/2) = 2. Vamos fazer algumas ilustrações na figura:

Repare que ilustramos na figura, o ponto M (x_o,y_o), que é o ponto de interseção das retas r e w, vamos trabalhar nisso mais adiante. Agora, repare que a área S representa um trapézio e podemos calcular a sua área por meio da fórmula:

S = ( B + b) . h
2

B é a base maior, b é a base menor e h é a altura do trapézio.

B é o segmento AC, que vale 4.
b é o segmento PM, que vale y_o.
h é o segmento CP que vale x_o.

Vamos aplicar estes valores na fórmula:

S = ( 4 + yo) . xo
2

Lembre-se que queremos S = 2.

2 = ( 4 + yo) . xo
2

4 = ( 4 + y_o) . x_o

Chegamos a esta expressão, agora, o que vamos fazer é obter o valor de y_o em função de x_o e com isso poderemos encontrar o valor de x_o.

Precisamos agora da equação da reta r, podemos encontrá-la de várias maneiras. Uma vez que já conhecemos os dois pontos de encontro da reta r com os eixos x e y, então vamos usar a equação segmentária da reta. Caso necessário, você pode fazer uma breve revisão de o que é a equação segmentária da reta com a figura a seguir:

Aplicando essa estrutura aos pontos A(0,4) e B(2,0), temos:

x/2 + y/4 = 1

Vamos multiplicar os dois lados da equação por 4.

4 (x/2 + y/4) = 4 (1)

4x/2 + 4y/4 = 4

2x + y = 4

y = -2x + 4

Agora, basta aplicarmos x = x_o nesta equação e encontraremos o valor respectivo de y_o.

y_o = -2. x_o + 4

Agora, vamos voltar na equação:

4 = ( 4 + y_o) . x_o

4 = ( 4 - 2.x_o + 4) . x_o

4 = ( 8 - 2.x_o ) . x_o

4 = 8.x_o - 2.x_o²

2.x_o² - 8.x_o + 4 = 0

x_o² - 4.x_o + 2 = 0

Podemos obter as raízes dessa equação do segundo grau usando a fórmula de Bhaskara:

x_o = (-b ± √Δ)/2a

Δ = b² - 4ac

Δ = (-4)² - 4 (1) (2)

Δ = 16 - 8

Δ = 8

√Δ = 2√2

x_o = [- (-4) ± 2√2] / 2 (1)

x_o = [4 ± 2√2] / 2

x_o = 2 + √2 ou x_o = 2 - √2

Atente para o fato de que o enunciado estabeleceu a restrição de que 0 ≤ x_o ≤ 2. Portanto, só podemos ficar com o

x_o = 2 - √2

Alternativa correta é a letra a).

Curiosidade: vamos tirar uma prova real.

M é o ponto de coordenadas (x_o,y_o) que valem:

x_o = 2 - √2

y_o = -2. x_o + 4 = -2 (2 - √2) + 4 = -4 + 2√2 + 4

y_o = 2√2

A área S é igual a

S = ( B + b) . h
2

S = (4 + 2√2) . (2 - √2)

S = (2 + √2) (2 - √2)

S = (2)² - (√2) ²

S = 4 - 2

S = 2 (ok!)

Note que quando (x_o = 2 - √2) encontramos a área S = 2, exatamente conforme era o objetivo inicial da questão.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UERJ.

Um forte abraço e bons estudos.