(UERJ 2017) No plano cartesiano a seguir, estão representados o gráfico da função definida por f(x) = x² + 2, com x ∈ IR , e os vértices dos quadrados adjacentes ABCD e DMNP.
(UERJ 2017) No plano cartesiano a seguir, estão representados o gráfico da função definida por f(x) = x² + 2, com x ∈ IR , e os vértices dos quadrados adjacentes ABCD e DMNP.
Observe que B e P são pontos do gráfico da função f e que A, B, D e M são pontos dos eixos coordenados. Desse modo, a área do polígono ABCPNM, formado pela união dos dois quadrados, é:
(A) 20 (B) 28 (C) 36 (D) 40
Solução: questão de matemática do Vestibular UERJ 2017, prova do dia 16/10/2016 (2° Exame de Qualificação).
Repare na figura que as ordenadas dos pontos B e P representam, respectivamente, as medidas dos lados do quadrado ABCD e do quadrado DMNP. Vamos encontrá-las:
>> Ordenada do ponto B
Repare que a ordenada do ponto B (0,y) pode ser obtida aplicando-se (x=0) na função do segundo grau.
y = x² + 2
y = 0² +2
y = 2
Então, o lado do quadrado ABCD vale 2.
Sabemos que a área do quadrado é igual a (lado)². Portanto, a área de ABCD é igual a (2)² = 4.
>> Ordenada do ponto P
Vamos atualizar a figura com as informações obtidas até aqui.
Como ABCD é um quadrado de lado igual a 2, então o ponto D está 2 unidades distantes da origem. Logo, o ponto D tem coordenadas (2,0). Além disso, D, C e P estão sobre a mesma reta, que é paralela ao eixo y. Sendo assim, perceba que as coordenadas de P são (2,y). Podemos obter a ordenada de P aplicando (x=2) na função do segundo grau.
y = x² + 2
y = 2² +2
y = 4 +2
y = 6
Então, o lado do quadrado DMNP vale 6 e sua área vale (6)² = 36.
Finalmente, a área do polígono ABCPNM, formado pela união dos dois
quadrados, é:
4 + 36 = 40. Alternativa correta é a letra d).
Veja como ficou a ilustração com os valores obtidos:
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UERJ.
Um forte abraço e bons estudos.