(UERJ 2018) No triângulo equilátero ABC, H corresponde ao ponto médio do lado AC. Desse modo, a área do triângulo ABH é igual à metade da área de ABC.

Sendo W o perímetro do triângulo ABH e Y o perímetro do triângulo ABC, uma relação correta entre W e Y é:

a) 0 < W < Y/2
b) W = Y/2
c) Y/2 < W < Y
d) W = Y

Solução: questão de matemática do Vestibular UERJ 2018, prova do dia 17/09/2017.

Primeiramente, vamos calcular Y que é o perímetro do triângulo equilátero ABC.  Sabemos que num triângulo equilátero, os três lados são iguais.  Vamos considerar que a medida de cada lado seja igual a L.  Deste modo, o perímetro, que é a soma dos três lados, vale L + L + L = 3L.

Guardamos a informação de que Y = 3L

Agora, vamos calcular W que é o perímetro do triângulo ABH.  Perceba que o segmento BH é a mediana relativa ao lado AC.  A mediana é o segmento de reta que parte de um vértice do triângulo e alcança o lado oposto exatamente no seu ponto médio.  Além disso, no triângulo equilátero, a altura, mediana e bissetriz, referente a cada lado, estão sobre a mesma reta.  Com estas informações, repare na ilustração a seguir que podemos usar o Teorema de Pitágoras para encontrar a medida do segmento BH.

AB² = AH² + BH²
L² = (L/2)² + BH²
BH² = L² - L²/4
BH² = 3L²/4 
BH = (√3 . L)/2

Uma curiosidade:  além do Teorema de Pitágoras, também podemos encontrar BH usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo ABH.

seno 60° = cateto oposto / hipotenusa
(√3)/2 = BH / L
BH = (√3 . L)/2

Agora, vamos obter um valor aproximado para BH, substituindo √3 por 1,7.

BH = (√3 . L)/2
BH ≅ (1,7 . L)/2
BH ≅ 0,85 . L

Agora, vamos encontrar o valor de W que é o perímetro do triângulo ABH.

W = AB + AH + BH
W ≅ L + (L/2) + 0,85 . L
W ≅ L + 0,5 . L + 0,85 . L
W ≅ 2,35 . L

Finalmente, podemos julgar as alternativas de resposta:

a) 0 < W < Y/2   (FALSA)
b) W = Y/2  (FALSA)
c) Y/2 < W < Y (VERDADEIRA)

Perceba que a alternativa c) é a correta.

Y/2 < W < Y
1,5 L < 2,35 L < 3 L 

d) W = Y (FALSA)

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UERJ.

Um forte abraço e bons estudos.