(UERJ 2018) Um jogo consiste em lançar cinco vezes um dado cúbico, cujas faces são numeradas de 1 a 6, cada uma com a mesma probabilidade de ocorrer. Um jogador é considerado vencedor se obtiver pelo menos três resultados pares. 

A probabilidade de um jogador vencer é:

a) 3/5   b) 2/3  c) 1/5  d) 1/2

Solução: questão de matemática do Vestibular UERJ 2018, prova do dia 17/09/2017.

Nesta questão, utilizaremos a fórmula da probabilidade binomial.

P (k) = C n,k . (p)k . (q)n-k

Cujos elementos são:

C n,k = n! / [ k!(n-k)! ]
n = número de tentativas
k = número de tentativas com sucesso
p = probabilidade de sucesso em uma única tentativa, ou seja, obter um número par em um lançamento
q = probabilidade de falha em uma única tentativa, ou seja, obter um número não par [ímpar] em um lançamento.  

Quanto vale p e q?  O dado possui seis números, são eles {1, 2, 3, 4, 5, 6}.  Destes seis, podemos visualizar que três deles são pares {2,4,6} e os outros três são ímpares {1,3,5}.  Sendo assim:

p = probabilidade de ser par = 3/6 = 1/2
q = probabilidade de ser ímpar = 3/6 = 1/2

*** Note que neste tipo de problema,  (p + q) = 1.  Isto porque os dois eventos são complementares.

Quanto vale n?  De acordo com o enunciado: "um jogo consiste em lançar cinco vezes um dado cúbico".  Então, n = 5.

Quanto vale k?

Agora, vamos atentar para o enunciado: "um jogador é considerado vencedor se obtiver pelo menos três resultados pares. A probabilidade de um jogador vencer é:"

Perceba que ele precisa de pelo menos três resultados pares, isso significa que ele vencerá se conseguir 3 pares, ou 4 pares, ou 5 pares.  Ou seja, k = 3, ou  k = 4 ou k = 5. 

Temos que somar esses três cenários: P(k=3) + P (k=4) + P (k=5)

P (k=3) = C 5,3 . (1/2)3 (1/2)2
P (k=3) = 5!/(3!2!) . (1/2)5
P (k=3) = 10 . (1/2)5


P (k=4) = C 5,4 . (1/2)4 (1/2)1
P (k=4) = 5!/(4!1!) . (1/2)5
P (k=4) = 5 . (1/2)5


P (k=5) = C 5,5 . (1/2)5 (1/2)0
P (k=5) = 1 . (1/2)5 
P (k=5) = (1/2)5 

Finalmente, vamos somar:  

P(k=3) + P(k=4) + P(k=5)
10 . (1/2)5  +  5 . (1/2)5 + (1/2)5
(1/2)5 . ( 10 + 5 + 1)
(1/32) . (16)
16/32
1/2

Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UERJ.

Um forte abraço e bons estudos.