(EPCAR 2019) Considere o conjunto de todos os valores de m e n para os quais a expressão algébrica A, abaixo, está definida.

Nesse conjunto, uma expressão algébrica equivalente a A é

a) m² + n²

b) m² - n² 

c) m² + n²
     m² - n² 

d) m² + n²
      m - n 

Solução: questão de matemática da EPCAR 2019, que envolve manipulações com produtos notáveis, frações, potenciação e MMC de polinômios.  Vamos dividir a expressão A em 3 partes e desenvolvê-las separadamente, conforme a figura a seguir:


>>> Parte I

Vamos obter o MMC entre n² e m² para efetuarmos a subtração das frações.  O MMC entre n² e m² vale n²m², isto porque eles não possuem nenhum termo em comum, logo o MMC será dado pelo produto entre ambos.

m² . m² - n² . n² 
      n²m²

 m4 - n4  
   n².m²    
 
Utilizando produtos notáveis, podemos substituir (m4 - n4 ) por (m² + n²) . (m² - n²).  E também podemos substituir (m² - n²) por (m+n) . (m-n).

 (m² + n²) . (m+n) . (m-n)
                n².m²                    

>>> Parte II

Para resolvermos essa parte, vamos primeiro tirar o MMC entre m², m.n e n².  Sabemos que m² = m . m e que n² = n.n.  Vamos trabalhar com eles assim.

m.m , m.n ,  n.n  | m
     m ,       n ,  n.n  | m
     1  ,       n ,  n.n  |  n
     1  ,       1 ,      n  |  n     
     1  ,       1 ,      1  |   m² . n² = MMC

Este será o denominador da fração.

n² + 2mn + m²
      m²n²

Note que n² + 2 mn + m² = (m+n)²  que também é igual a (m+n).(m+n), vamos usar este último.

(m+n)(m+n)
     m²n²

>>> Parte III

Note que 
(m-n)-2 / (m² - n²)-1 
é equivalente a 
(m² - n²)¹ / (m-n)²

Vejamos

(m-n)-2 / (m² - n²)-1 
[1 / (m-n)² ] / [ 1 / (m² - n²)¹ ]
[1 / (m-n)² ] x [ (m² - n²) / 1 ]
(m² - n²) / (m - n)² 

Ainda podemos substituir (m² - n²) por (m+n)(m-n).

(m + n) (m - n) / (m-n)2
(m+n) / (m-n)

Agora que já desenvolvemos as três partes, vamos efetuar [ (I) / (II) ]  x (III).

Repetimos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda fração e já adicionamos um vezes a fração III.


Note que podemos fazer muitas simplificações:



Depois de simplificar tudo, nós terminamos com apenas:  m² + n²

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EPCAR.

Um forte abraço e bons estudos.