(Professor Docente I - Matemática - 2014 - Banca CEPERJ) O valor de 

2 . log2013 ( 20133 . 20137 . 201311 .  ... . 201347 ) é:

A) 400
B) 450
C) 500
D) 550
E) 600

Solução: questão do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro.  Banca organizadora CEPERJ, 2014.

2 . log2013 ( 20133 . 20137 . 201311 .  ... . 201347 ) 

Para resolvermos essa expressão, vamos nos concentrar primeiro, no cálculo do logaritmo destacado em azul.  Vamos utilizar a seguinte propriedade dos logaritmos:

loga (b.c.d) = loga (b) + loga (c) + loga (d)

log2013 ( 20133 . 20137 . 201311 .  ... . 201347 ) 
log2013 ( 20133) + log2013 ( 20137) + log2013 ( 201311) + ..... + log2013 ( 201347)

Agora, vamos utilizar uma outra propriedade dos logaritmos:

loga (b)n = n . loga (b)

Continuando......

log2013 ( 20133) + log2013 ( 20137) + log2013 ( 201311) + ..... + log2013 ( 201347)
3 . log2013 ( 2013) + 7 . log2013 ( 2013) + 11 . log2013 ( 2013) + ..... + 47 . log2013 ( 2013)

Sabemos também que o logaritmo  loga (a) = 1.

3 . 1 + 7 . 1 + 11 . 1 + ..... + 47 . 1
3 + 7 + 11 + ..... + 47

Perceba que reduzimos o logaritmo a uma soma de progressão aritmética (PA).  Esta PA tem razão  r = 4 e o primeiro termo a1 = 3.

PA = {3, 7, 11, ..., 47 } 

Obs: caso necessário, faça por aqui uma revisão das fórmulas de PA e PG.

Vamos descobrir quantos elementos tem essa PA utilizando a fórmula do n-ésimo termo da PA.

an = a1 + (n-1) . r
47 = 3 + (n-1) . 4
47 = 3 + 4n - 4
47 = 4n - 1
4n = 48
n = 12

Agora, vamos calcular quanto vale a soma dessa PA utilizando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA.

Sn = (a1 + an) . n
                  2

Sn = (3 + 47) . 12
                  2

Sn = 50 . 6

Sn = 300

Finalmente, voltamos com este valor até a expressão inicial para concluirmos a resolução da questão.

2 . log2013 ( 20133 . 20137 . 201311 .  ... . 201347 ) 
2 . 300
600

Alternativa correta é a letra e).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da Seeduc-RJ.

Um forte abraço e bons estudos.