(UECE 2021.1) Sejam f e g funções reais de variável real definidas por f(x) = 2^x e g(x) = x³ . Se h = g o f é a função composta de g com f (isto é, h(x) = g(f(x))), então, a expressão que define a função h^-1 , inversa da função h, é h^-1 (x) igual a

(UECE 2021.1) Sejam f e g funções reais de variável real definidas por f(x) = 2^x e g(x) = x³ . Se h = g o f é a função composta de g com f (isto é, h(x) = g(f(x))), então, a expressão que define a função h^-1 , inversa da função h, é h^-1(x) igual a

a) 2 . log₂ (x/3).

b) 3 . log₃ (x/2).

c) (1/2) . log₃ (x).

d) (1/3) . log₂ (x).

Nota: Se a e z são números reais positivos e a ≠ 1, log_a(z) é o logaritmo de z na base a.

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Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2021.1, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 20/06/2021.

Uma questão sobre funções muito rica, englobando função composta, função inversa, função exponencial e função logarítmica.  Em primeiro lugar, vamos calcular  h(x) = g(f(x)).  

g(x) = x³ 

h(x) = g(f(x)) = [f(x)]³ 

h(x) = g(f(x)) = [2^x ]³ 

h(x) = g(f(x)) = 2^{x . 3}  

h(x) =  2^3x  

Agora, nosso objetivo é encontrar a função inversa de h(x), vamos fazer isso:

h(x) =  2^3x  

y = 2^3x  

Onde temos y trocaremos por x e onde temos x trocaremos por y.

x = 2^3y  

Agora, precisamos isolar y, vamos fazer isso aplicando log₂ dos dois lados da equação.

log₂ (x)  =   log₂ (2^3y)

Pelas propriedades dos logaritmos, podemos trazer o expoente 3y para fora de log₂  e multiplicando - o.

log₂ (x)  =   3y . log₂ (2)

Sabemos que log₂ (2) vale exatamente 1.

log₂ (x)  =   3y . 1

log₂ (x)  =   3y

y = (1/3) . log₂ (x)

h^-1(x) = (1/3) . log₂ (x)

Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.