(UECE 2022.2) Dados dois números inteiros positivos p e q, diremos que p é um divisor de q se existe um inteiro positivo k, tal que q = k.p. Um número inteiro positivo q, maior do que um, é chamado de número primo se seus únicos divisores positivos são o número um e o próprio número q. Note que o número 101101 possui n divisores positivos sendo m deles números primos. Assim, é correto concluir que o valor de n - m é igual a

A) 11.  B) 9.  C) 12.  D) 10.

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2022.2, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 01/05/2022.

Em primeiro lugar, vamos decompor o 101101 em fatores primos:

Pelos critérios de divisibilidade, sabemos que o 101101
  • não é divisível por 2, pois não é par;
  • não é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a (1+0+1+1+0+1) = 4, que não é divisível por 3;
  • não é divisível por 5, pois não termina em 0 ou 5.
A partir de 7, 11 e 13 já teremos divisões exatas (aquelas cujo o resto é igual a 0).

101101 | 7
  14443 | 11
   1313  | 13
     101* 

Quando chegamos nesse 101,  qual o próximo número primo que vamos utilizar para dividi-lo?  Como já usamos 7, 11 e 13, então o próximo só pode ser outra vez o 13 ou um número primo maior.  Se tentarmos dividir 101 por 13, vamos visualizar o seguinte:

101  | 13
  10     7

Devemos continuar as divisões?  Por exemplo, tentar dividir por 17?  Não, isto porque o quociente (7) já está menor que o divisor (13) e também o resto está diferente de 0, então já podemos constatar que o 101 é primo.

E temos finalmente que

101101 | 7
  14443 | 11
   1313  | 13
      101 | 101   
          1 |     

Podemos escrever 101101 como sendo 71 x 111 x 131 x 1011.

Para encontrarmos a quantidade de divisores de 101101, basta somar 1 unidade a cada um dos expoentes dos fatores primos e fazer o produto entre eles, veja a seguir:

(1 + 1) x (1 + 1) x (1 + 1) x (1 + 1) = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 divisores.

Desses 16 divisores, sabemos que {7, 11, 13 e 101} são números primos.  Atenção, pois o número 1 não é considerado um número primo.  Para ser número primo tem que ser maior do que 1 e só possuir dois divisores, ele mesmo e o número 1.

Portanto, 

n = 16
m = 4

A diferença (n - m) = 16 - 4 = 12.

Alternativa correta é a letra c).

Curiosidade 1: os 16 divisores de 101101 são {1, 7, 11, 13, 77, 91, 101, 143, 707, 1001, 1111, 1313, 7777, 9191, 14443, 101101}, em vermelho, estão destacados os quatro números primos.

Curiosidade 2: você não precisa listar um a um quais são os divisores de 101101 para resolver essa questão.  Basta utilizar a fórmula que nos fornece a quantidade de divisores de um número que já foi decomposto em fatores primos, conforme utilizamos nesta resolução.

Curiosidade 3:  nas primeiras divisões do número 101101, pode ser últil conhecer os critérios de divisibilidade de um número, por exemplo, quando um número é divisível por 2, 3, 5, etc.

Curiosidade 4:  veja a seguir um método prático para encontrar a lista de todos os divisores de um número:  como obter o conjunto de divisores de um número.

Curiosidade 5:  para se aprofundar mais teste tema, recomendamos o artigo (Como reconhecer os números primos) do Brasil Escola, acessado em 06/05/2022 às 14h00.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.