(CEDERJ 2022.2) Considere (an), n ϵ ℕ, uma progressão aritmética (PA). Sabe-se que a soma Sn dos n primeiros termos dessa PA é dada por Sn = n² + n, para todo n ϵ ℕ. O centésimo termo da PA é igual a 

(A) 100. (B) 101. (C) 199. (D) 200

Solução: questão de matemática do Vestibular CEDERJ 2022.2,  prova aplicada no dia 12/06/2022.

Vamos resolver essa questão usando dois modos diferentes:

>> Modo 1

Sabemos que a soma dos 99 primeiros termos da PA é dada por 

S99 = a1 + a2 + a3 + .... + a99

Sabemos também que a soma dos 100 primeiros termos da PA é dada por

S100 = a1 + a2 + a3 + .... + a99 + a100

Vamos substituir  a1 + a2 + a3 + .... + a99 por S99.

S100 = S99 + a100
a100 = S100 - S99
a100 = (100² + 100) - (99² + 99)
a100 = 100² - 99² + 100 - 99

Dos produtos notáveis, sabemos que

x² - y² = (x + y)(x - y)

Do mesmo modo, temos que

100² - 99² = (100 + 99)(100 - 99) = 199

a100 = 199 + 1
a100 = 200

Alternativa correta é a letra d).

>> Modo 2

Vamos calcular a soma do primeiro termo dessa PA.

S1 = 1² + 1 = 2

Já que a soma do primeiro termo da PA vale 2, então o primeiro termo dessa PA é igual a 2, ou seja, a1=2.

Agora, vamos calcular a soma dos dois primeiros termos dessa PA

S2 = 2² + 2 = 4 + 2 = 6

Já que a soma dos dois primeiros termos vale 6 e o primeiro termo vale 2, então o segundo termo a2 = 4.

A diferença (a2 - a1) é igual a razão da PA que vale (4-2) = 2.

Sendo assim, a PA é a seguinte:

PA = {2, 4, 6, 8, 10, 12,  ..... } 

Quem é o a100 dessa PA?  

Vamos encontrá-lo usando a fórmula do n-ésimo termo da PA.

an = a1 + (n-1) . r
a100 = 2 + (100-1) . 2
a100 = 2 + 99 . 2
a100 = 2 + 198
a100 = 200 

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do CEDERJ.

Um forte abraço e bons estudos.