(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2022) Assinale a opção que apresenta a soma de todos os inteiros que divididos por 11 dão resto 7 e estão compreendidos entre 200 e 400.

a) 5373
b) 5431
c) 5578
d) 5691
e) 5743

Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2022, prova aplicada no dia 05/06/2022.

Para resolvermos essa questão, em primeiro lugar, precisamos encontrar qual é o menor número e qual é o maior número da lista de números inteiros que divididos por 11 dão resto 7 e estão compreendidos entre 200 e 400.  

>> Menor número

Para encontrá-lo, vamos dividir 200 por 11 e analisar o resto da divisão:

200  |11 
  2     18

Note que o resto da divisão de 200 por 11 é igual a 2, então, em ordem crescente, o próximo número cuja divisão por 11 dará resto igual a 7 será o (200 + 5) = 205.  Veja:

205  |11 
  7     18

>> Maior número

Para encontrá-lo, vamos dividir 400 por 11 e analisar o resto da divisão:

400  |11 
  4     36

Note que o resto da divisão de 400 por 11 é igual a 4.  O que temos que fazer é subtrair 4 unidades de 400 e daí teremos um número cujo resto da divisão por 11 será igual a 0.  Então, o número (400-4) = 396 quando dividido por 11 terá resto igual a 0.  Agora, de 396, subtraímos mais 4 unidades e teremos o número (396-4) = 392 e  a divisão deste por 11 terá resto igual a 7, veja a seguir:

392  |11 
  7     35

Até aqui, já sabemos que daqueles números inteiros que divididos por 11 dão resto 7 e estão compreendidos entre 200 e 400, o menor deles é o 205 e o maior é o 392, o que temos aí é uma progressão aritmética (PA) de n termos cuja razão (r) vale 11, o primeiro termo (a1) vale 205 e o n-ésimo termo vale 392.  

PA = { 205, 216, 227, ..... , 392 } 

Quanto vale n?  Podemos descobrir utilizando a fórmula do n-ésimo termo da PA.

an = a1 + (n-1) . r
392 = 205 + (n-1) . 11
187 = 11 . (n-1)
n-1 = 187/11
n-1 = 17
n = 18

Agora, temos mais uma informação importante, os inteiros que divididos por 11 dão resto 7 e estão compreendidos entre 200 e 400 formam uma PA onde

a1 = 205
n = 18
r = 11
a18 = 392

Podemos calcular a soma dos termos dessa PA utilizando a fórmula da soma dos n primeiros termos da PA e com isso atenderemos, finalmente, ao objetivo da questão.

Sn = n .  (a1 + an)/2
S18 = 18 . (205 + 392)/2
S18 = 9 . (597)
S18 = 5373

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do concurso de admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros. 

Um forte abraço e bons estudos.