(Colégio Naval 2022) Na organização de uma competição interna do Colégio Naval, ficou decidido que cada ano de escolaridade compraria suas bolas de treinamento. Essa compra ocorreu da seguinte forma:
Sabendo que as bolas de mesma categoria têm o mesmo valor, o total gasto pelo 1° ano foi de R$ 1.800,00 e que o total de gasto do 2° ano foi de R$ 3.000,00, podemos afirmar que:
a) é possível calcular o total gasto pelo 3° ano, mas nenhum dos preços unitários das três bolas.
b) não é possível calcular o preço de qualquer uma das bolas.
c) é possível calcular o total gasto pelo 3° ano e os preços unitários das três bolas.
d) é possível calcular o total gasto pelo 3° ano e apenas o preço unitário da bola de basquete.
e) não é possível calcular o total gasto pelo 3° ano.
Solução: Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao
Colégio Naval (CPACN/2022). Prova aplicada no dia 02/07/2022.
Sejam,
x = preço unitário da bola de futebol
y = preço unitário da bola de basquete
z = preço unitário da bola de vôlei
Então, temos que
4x + 2y + 2z = 1800 [1° ano]
6x + 8y + 3z = 3000 [2° ano]
2x + 3y + z = ?? [3° ano]
Essa terceira linha seria muito importante, mas o problema não nos dá o total gasto pelo 3° ano e com isso não conseguimos completar o sistema linear 3x3.
Entretanto, atente para o fato de que x, y e z são valores positivos, note que o total gasto pelo 2° ano foi bem maior que o do 1° ano, porque o 2° ano comprou unidades adicinais dos três tipos de bolas. Sendo assim, podemos obter a diferença entre o que foi gasto pelo 2° e o 1° ano e com isso obter mais uma equação.
Veja:
(6-4)x + (8-2)y + (3-2)z = (3000 - 1800)
2x + 6y + z = 1200
Finalmente, podemos escrever um sistema linear 3x3:
4x + 2y + 2z = 1800
6x + 8y + 3z = 3000
2x + 6y + z = 1200
Podemos simplificar a 1ª equação dividindo todos os elementos por 2 e teremos:
2x + y + z = 900 (Equação 1)
6x + 8y + 3z = 3000 (Equação 2)
2x + 6y + z = 1200 (Equação 3)
Agora, podemos notar uma grande semelhança entre as equações 1 e 3. Vamos trabalhar na Equação 3 trocando o 6y por y + 5y.
2x + 6y + z = 1200
2x + y + 5y + z = 1200
(2x + y + z ) + 5y = 1200
Note que a Equação 1 nos diz que 2x + y + z = 900, então vamos aplicar este valor na equação 3 e assim poderemos encontrar o valor de y.
900 + 5y = 1200
5y = 1200 - 900
5y = 300
y = 300/5
y = 60
Descobrimos que uma bola de basquete custa R$ 60,00. Agora, vamos atualizar nosso sistema 3x3 com este valor (y=60).
2x + 60 + z = 900 (Equação 1)
6x + 8.60 + 3z = 3000 (Equação 2)
2x + 6.60 + z = 1200 (Equação 3)
Em todas as equações, vamos manter isolados x e z.
2x + z = 840 (Equação 1)
6x + 3z = 2520 (Equação 2)
2x + z = 840 (Equação 3)
Na equação 2, podemos dividir todos os elementos por 3.
2x + z = 840 (Equação 1)
2x + z = 840 (Equação 2)
2x + z = 840 (Equação 3)
Repare que este sistema não admite apenas uma solução para os valores de x e z. Entretanto, nós já conseguimos calcular quanto vale y. Será que nós vamos conseguir calcular o gasto total do 3° ano?
Vamos sim, veja que a expressão do gasto total do 3° ano é
2x + 3y + z
Sabemos que y vale 60 e que (2x + z) = 840, então basta aplicá-los na expressão acima:
840 + 3 . 60
840+180
R$ 1020,00
Finalmente, podemos concluir que é possível calcular o total gasto pelo 3° ano e apenas o preço unitário da bola de basquete.
Alternativa correta é a letra d).
