(EsPCEx 2022) Seja M (x) a matriz quadrada de ordem três em função de x , 

Considere f a função definida pela expressão f (x) = det M (x) , em que det M (x) é o determinante da matriz M (x) . 

É correto afirmar que a equação f (x) = – 1

[A] não possui solução real.
[B] possui uma única solução real.
[C] possui apenas duas soluções reais distintas.
[D] possui exatamente 2022 soluções reais distintas.
[E] possui infinitas soluções reais distintas. 

Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2022). Prova aplicada no dia 18/09/2022.

Uma questão bem rica sobre matrizes, abordando outras disciplinas da matemática como funções exponenciais e identidades trigonométricas.  Em primeiro lugar, vamos obter o determinante da matriz M(x) usando a Regra de Sarrus.


Note que os produtos nas linhas em vermelho são iguais a zero, já nas linhas em azul (que são apenas duas) os resultados são diferentes de zero.  

det M (x) = -  2022x . cos² (x2022 + 2022) -  2022x . sen² (x2022 + 2022)
det M (x) = -1 . 2022x . [ cos² (x2022 + 2022) + sen² (x2022 + 2022) ]

Agora, vamos utilizar a seguinte identidade trigonométrica:

sen² θ + cos² θ = 1

Sendo assim, 

sen² (x2022 + 2022) + cos² (x2022 + 2022) = 1


det M (x) = -1 . 2022x . [ 1 ]
det M (x) = -1 . 2022x 

Sendo assim, f(x) = - 1 . 2022x

Agora, o objetivo da questão é encontrar o(s) valor(es) de x que satisfazem f (x) = - 1

Pela característica dessa função exponencial, já esperamos encontrar apenas um único valor para x, vamos obtê-lo a seguir.

f (x) = - 1
 -1 . 2022x   = -1
2022x   = -1/-1
2022x   = 1
2022x   = 20220  
x = 0

Podemos concluir que a equação f (x) = - 1 possui uma única solução real que é a solução x=0.

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EsPCEx.

Um forte abraço e bons estudos.