(EsPCEx 2022) Um grupo de 421 alunos da EsPCEx foi organizado para a apresentação de uma solenidade militar. Em determinada etapa, esses 421 alunos se posicionaram em N linhas, de modo que havia exatamente: 1 aluno na Linha 1; 2 alunos na Linha 2; 4 alunos na Linha 3; 6 alunos na Linha 4; e assim sucessivamente. 

Ou seja, para cada número natural K, com 1 < K ≤ N, o número de alunos posicionados na Linha K é igual a 2.(K – 1). 

A figura abaixo ilustra a distribuição dos alunos nas quatro primeiras linhas.


Pode-se deduzir, com isso, que o número total de linhas, N, é igual a

[A] 18. [B] 19. [C] 20. [D] 21. [E] 40.  

Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2022). Prova aplicada no dia 18/09/2022.

Uma questão bem interessante sobre sequências numéricas.  Em primeiro lugar, de acordo com o enunciado, o somatório da quantidade de alunos nas N linhas vale 421.  Como a primeira linha tem exatamente 1 aluno, então o somatório de alunos da linha 2 até a linha N vale (421-1) = 420.

Somatório de alunos nas linhas 2 até N é igual a 420


A partir da linha 2, até a linha N, a quantidade de alunos em uma determinada linha é dada pela expressão 2.(K – 1) , onde K é o número daquela linha.  A seguir, vamos perceber uma coisa interessante:

L2 |  2.(2 - 1) = 2 alunos
L3 |  2.(3 - 1) = 4 alunos
L4 |  2.(4 - 1) = 6 alunos
L5 |  2.(5 - 1) = 8 alunos
.....
LN |  2.(N - 1) = 2(N-1) alunos

Perceba que da Linha 2 até a Linha N, a quantidade de alunos em cada linha está formando uma progressão aritmética (PA), onde: 

>> primeiro termo: a1 = 2 
>> último termo: an = 2(N-1)
>> número de termos: n = N - 1
>> razão: r = 2

Sabemos que o somatório desses termos vale 420, então vamos equacionar isto usando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA:

Sn = (a1 + an) . n / 2

Aplicando os valores, temos

420 = [ 2 + 2(N - 1) ] . (N-1) / 2

Basta resolver essa equação e chegaremos no valor de N.

420 = [ 2 + 2N - 2 ] . (N-1) / 2
840 = ( 2N ) . (N-1)
840 = 2N² - 2N 
2N² - 2N - 840 = 0
N² - N - 420 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara.

Δ = b² - 4ac
Δ = (-1)² - 4.(1).(-420)
Δ = 1 + 1680
Δ = 1681

N = (-b ± √Δ) / 2a
N = (-(-1) ± √1681) / 2(1)
N = (1 ± 41) / 2

N' = (1 + 41)/2
N' = (42)/2
N' = 21

N'' = (1 - 41)/2
N'' = -40/2
N'' = -20    **

**  Como o número de linhas é um número inteiro positivo, então descartamos N'' = -20 e ficamos apenas com N = 21.

Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EsPCEx.

Um forte abraço e bons estudos.