(ENEM 2022) Em um jogo de bingo, as cartelas contêm 16 quadrículas dispostas em linhas e colunas. Cada quadrícula tem impresso um número, dentre os inteiros de 1 a 50, sem repetição de número. Na primeira rodada, um número é sorteado, aleatoriamente, dentre os 50 possíveis. Em todas as rodadas, o número sorteado é descartado e não participa dos sorteios das rodadas seguintes. Caso o jogador tenha em sua cartela o número sorteado, ele o assinala na cartela. Ganha o jogador que primeiro conseguir preencher quatro quadrículas que formam uma linha, uma coluna ou uma diagonal, conforme os tipos de situações ilustradas na Figura 1.

O jogo inicia e, nas quatro primeiras rodadas, foram sorteados os seguintes números: 03, 27, 07 e 48. Ao final da quarta rodada, somente Pedro possuía uma cartela que continha esses quatro números sorteados, sendo que todos os demais jogadores conseguiram assinalar, no máximo, um desses números em suas cartelas. Observe na Figura 2 o cartão de Pedro após as quatro primeiras rodadas.

A probabilidade de Pedro ganhar o jogo em uma das duas próximas rodadas é

Solução: questão de matemática do ENEM 2022,  prova aplicada no dia 20/11/2022.

Note que somente o Pedro pode vencer o jogo já nas duas próximas rodadas, isto porque os demais jogadores só possuem no máximo um número marcado e para completar uma fila (linha, coluna ou diagonal) são necessários marcar 4 números em sequência.  Pedro pode vencer já na próxima rodada, caso seja sorteado o número 12.  Ou também, vencer com mais duas rodadas em alguns cenários que veremos adiante.

Detalhe importante:  já aconteceram 4 rodadas e as próximas duas rodadas são a 5ª e 6ª rodada, porém, para facilitar a compreensão da resolução, vamos nomear as duas próximas rodadas respectivamente por R1 (que é a próxima) e R2 (que é a depois da próxima).

A probabilidade de Pedro ganhar o jogo em uma das duas próximas rodadas, é a soma das probabilidades de ganhar na R1  OU  ganhar na R2.  Vamos chamá-las de PR1 e PR2, respectivamente.  O que precisamos fazer é calculá-las e depois somá-las para encontrar a resposta para esta questão.

Probabilidade de ganhar na primeira rodada (PR1)

Para Pedro ganhar o jogo na R1, é necessário que dos 46 números ainda não sorteados, seja sorteado exatamente o número 12, pois assim ele vai completar a linha 1.    

Relembrando a fórmula básica da probabilidade (P)

P = E/U  
E = quantidade de eventos favoráveis (evento esperado)
U = quantidade total de eventos (espaço amostral/universo)

Para este caso E = 1 (pois só existe um número que é o 12) e U = 46 (são os 46 números ainda não sorteados).  Sendo assim, temos que

PR1 = 1 / 46

Probabilidade de ganhar na segunda rodada (PR2)

Já na segunda rodada o universo U é dado por 46 x 45 resultados sorteados possíveis. Isto porque na R1 existem 46 números para serem sorteados, depois na R2  existem outros (46-1) = 45 números.  O produto entre 46 x 45 nos dá a quantidade de elementos do conjunto universo.  Guardamos que U = 46 x 45

Em quais deles Pedro ganha?   Ele ganhará em 3 cenários distintos: completando a linha, ou completando a coluna, ou também completando a diagonal principal.

Completando a linha:

Na R1 tem que sair um número diferente de 12  E na R2 tem que sair exatamente o 12.  Ou seja, na R1 tem (46-1) = 45 números possíveis (lembre-se, dos 46 estamos excluindo o número 12) e na R2 só há um único número possível que é o 12.  Fazemos 45 x 1 = 45 sorteios possíveis.  Veja a título de exemplo alguns deles {20 e depois 12 ; 30 e depois 12; 01 e depois 12; etc}.  Ou seja, existem 45 duplas de números sorteados com 

(45 números diferentes de 12 na R1) e (exatamente o 12 na R2).

Até aqui, já contabilizamos 45 eventos favoráveis.  

Completando a coluna

Na R1 tem que sair o número 05 e na R2 tem que sair o número 45, e também o contrário, ou seja, na R1 sai o número 45 e na R2 sai o número 05.  Note que só há dois sorteios possíveis

05 e 45
45 e 05

Adicionamos aqui mais 2 elementos ao conjunto E, que já tinha 45, agora tem 45 + 2 = 47 elementos.

Completando a diagonal

Para ganhar completando a diagonal tem que sair na R1 um número 11 e na R2 um número 19, e também o contrário, na R1 sai o 19 e na R2 sai o 11.  Note que só há dois sorteios possíveis

11 e 19
19 e 11

Adicionamos então mais 2 elementos ao conjunto E, que já tinha 47 e agora tem 47+2 = 49 elementos.

Temos que E = 49 e U = 46 x 45  .  A PR2 será dada por

PR2 = E/U
PR2 = 49/(46 x 45)

Finalmente, a probabilidade de Pedro ganhar o jogo em uma das duas próximas rodadas é

PR1 + PR2

   1   +      49      
  46      (46x45)  


Alternativa correta é a letra e).

Veja uma outra forma de resolução, na qual seremos mais breves nos comentários

1) Ganhar na R1

(sair o 12)

1/46

2) Ganhar na R2

2.1) Completando a linha

(sair um número diferente de 12) E (sair o 12)

(45/46) x (1/45) = 1/46

2.2) Completando a coluna

2.2.1) (sair o 5) E (sair o 45)

(1/46) x (1/45) = 1/(46x45)

2.2.2) (sair o 45) E (sair o 5)

(1/46) x (1/45) = 1/(46x45)

2.3) Completando a diagonal

2.3.1) (sair o 11) E (sair o 19)

(1/46) x (1/45) = 1/(46x45)

2.3.2) (sair o 19) E (sair o 11)

(1/46) x (1/45) = 1/(46x45)

Finalmente, basta somar todas as probabilidades calculadas

1/46  + 1/46 + 1/(46x45) + 1/(46x45) + 1/(46x45) + 1/(46x45) 

1/46  + 1/46 + 4 x  1/(46x45) 

1/46  + 1/46 +  4/(46x45) 

1/46  + 45/(46x45) +  4/(46x45) 

1/46  + 49/(46x45) 

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do ENEM.

Um forte abraço e bons estudos.