(ENEM 2022 Reaplicação/PPL) Uma faculdade oferece dois cursos diferentes na área
de Humanas. Para um aluno ingressar nesses cursos, o
vestibular contém questões objetivas e uma redação, e a
nota final do candidato é a soma dessas notas, utilizando
o seguinte critério de pesos:
- questões objetivas: peso 1 para o curso I e
peso 1 para o curso II;
- redação: peso 2 para o curso I e peso 3 para o
curso II.
Um candidato que concorre aos dois cursos obteve
nota X nas questões objetivas e nota Y na redação.
Para analisar sua nota para o curso I e para o curso II,
o candidato representa sua nota com um produto de
matrizes A .
B, em que a matriz A representa os pesos,
e a matriz B contém as notas obtidas pelo candidato.
A matriz resultante A .
B é uma matriz coluna, em que,
na primeira linha, tem sua nota final para o curso I e, na
segunda linha, tem sua nota final para o curso II.
Nessas condições, qual representação algébrica gera o
resultado final desse candidato nos dois cursos?
Solução: questão de matemática do ENEM 2022 - Reaplicação/PPL, prova aplicada no dia 11/01/2023.
Do enunciado: "um candidato que concorre aos dois cursos obteve nota X nas questões objetivas e nota Y na redação".
Sejam N1 e N2, as notas finais deste candidato respectivamente para os cursos I e II, então temos que essas notas valem:
N1 = (peso das questões objetivas para o curso I) . X + (peso da redação para o curso I) . Y
N1 = 1 . X + 2 . Y
N2 = (peso das questões objetivas para o curso II) . X + (peso da redação para o curso II) . Y
N2 = 1 . X + 3 . Y
Vamos guardar as expressões para as notas N1 e N2 neste formato de produto, pois será mais conveniente nas operações com matrizes que faremos a seguir.
Do enunciado: "(....) o candidato representa sua nota com um produto de matrizes A . B, em que a matriz A representa os pesos, e a matriz B contém as notas obtidas pelo candidato. A matriz resultante A . B é uma matriz coluna, em que, na primeira linha, tem sua nota final para o curso I e, na segunda linha, tem sua nota final para o curso II" . Vamos ilustrar esse produto de matrizes que está sendo proposto. Nós vamos perceber que podemos equacionar esse problema de duas formas diferentes.
Forma 1
Forma 2
Atente para o fato de que a matriz A . B precisa obedecer a ordem: primeira linha com a nota do curso I e a segunda linha com a nota do curso II. Então, muita atenção neste ponto, pois as posições de N1 e N2 na matriz A . B estão fixas de acordo com o enunciado: "a matriz resultante A . B é uma matriz coluna, em que, na primeira linha, tem sua nota final para o curso I e, na segunda linha, tem sua nota final para o curso II".
Já sobre o matriz B, o enunciado só comentou o seguinte: "a matriz B contém as notas obtidas pelo candidato". Ele não definiu que na primeira linha está obrigatoriamente a nota X ou a nota Y. É por esta razão que as alternativas de resposta possuem dois casos distintos para a matriz B. Note que nas alternativas (a), (b) e (c), a matriz B tem o X na primeira linha e o Y na segunda linha. Já nas alternativas (d) e (e), a matriz B possui o Y na primeira linha e o X na segunda linha.
Por este motivo, nossa estratégia de resolução será a seguinte: vamos tentar resolver primeiro a Forma 1 e ver se encontramos a alternativa correta nas opções disponíveis. Se não encontrarmos uma alternativa correta, então vamos resolver também a Forma 2.
Resolvendo a Forma 1.
Vamos resolver o produto de matrizes a seguir:
Agora, temos as seguintes igualdades:
a.X + b.Y = N1
Lembre-se que N1 = 1 . X + 2 . Y
De modo que
a.X + b.Y = 1 . X + 2 . Y
Note que a = 1 e b = 2
c.X + d.Y = N2
Lembre-se que N2 = 1 . X + 3 . Y
De modo que
c.X + d.Y = 1 . X + 3 . Y
Note que c = 1 e d = 3
Isto quer dizer que uma representação algébrica que vai gerar o resultado final desse candidato nos dois cursos de acordo com a proposta estabelecida é a seguinte:
Note que essa é a representação da alternativa (b) da questão. Logo, a alternativa correta é a letra (b).
Observação: veja que não foi necessário trabalhar na Forma 2, pois já encontramos uma alternativa correta. Nos próximos passos, a título de exercício, vamos resolver também para a forma 2 e vamos verificar que as alternativas de resposta (d) e (e) não estão corretas.
Uma outra forma que o aluno teria de representar seria a seguinte:
e.Y + f.X = N1 = 1 . X + 2 . Y
De modo que e = 2 e f = 1
g.Y + h.X = N2 = 1 . X + 3 . Y
De modo que g = 3 e h = 1
Sendo assim, teríamos a outra representação a seguir como sendo válida.
Veja que a representação acima também é válida, pois permite que o aluno represente suas notas conforme definido no enunciado, entretanto, ela não está disponível nas alternativas de resposta.
Observação 2: daria pra resolver essa questão calculando o produto de cada uma das matrizes das alternativas de reposta? Como a questão envolve matrizes bem pequenas, daria sim. Em alguns casos de questões, envolvendo matrizes maiores, pode ser que esse caminho se torne inviável.
Se você optasse por fazer o produto entre as matrizes das alternativas de resposta, já daria a sorte de encontrar a alternativa correta na letra (b). Você precisaria encontrar as expressões para N1 e N2 conforme fizemos no início da resolução, relembrando:
N1 = 1 . X + 2 . Y
N2 = 1 . X + 3 . Y
Depois disso, bastaria fazer os produtos entre as matrizes até encontrar a matriz A.B esperada com a primeira linha contendo N1 e a segunda linha contendo N2.
