(UECE 2023.1) Ao dividirmos o polinômio P(x) = x6 - 1 por x + 2, obtemos o resto R e o quociente Q(x). O resto da divisão de Q(x) por x - 1 é igual a 

A) - 31. B) - 61. C) - 41. D) - 21.

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2023.1, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 06/11/2022.

Podemos resolver essa questão fazendo a divisão dos polinômios, entretanto será um método mais trabalhoso.  Por este motivo, vamos resolvê-la utilizando o Teorema do Resto.  Para uma revisão sobre este tema, você pode consultar o link a seguir:


**É importante acosturmar-se com a aplicação do Teorema do Resto, pois ele pode te ajudar a resolver questões sobre polinômios de forma mais eficiente.

Quando dividimos P(x) = x6 - 1 por (x + 2)  ; note aí que (x+2) é um binômio da forma (a.x+b), logo temos que

P ("raiz do binômio") = Resto da divisão de P(x) por (x+2)

Quem é a raiz do binômio?  

x+2 = 0
x = -2

Agora, vamos calcular P(-2)

P(-2) = x6 - 1 = (-2)6 - 1 = 64 - 1 = 63  [este é o valor do resto R da divisão de P(x) por (x+2)]

Obs:  se você tivesse dividido (x6 - 1) por (x+2) também teria chegado em um valor igual a 63 para o resto, só que com muito mais trabalho.

Agora, vamos relembrar os quatro elementos do algoritmo da divisão:

Dividendo   | Divisor
Resto             Quociente

Dividendo = Dividor x Quociente + Resto

Vamos agora substituí-los pelos elementos do nosso problema atual

x6 - 1   | x + 2
63         Q(x)

x6 - 1 = (x+2) . Q(x) + 63

O que vamos fazer agora é isolar Q(x)

(x+2) . Q(x) = x6 - 1 - 63
(x+2) . Q(x) = x6 - 64
Q(x) = x6 - 64
               x + 2

Finalmente, para concluirmos a resolução desta questão, vamos aplicar novamente o Teorema do Resto para descobrir quanto vale o resto da divisão de Q(x) por (x - 1)

Quem é a raiz do binômio (x-1)?

x-1 = 0
x = 1

Q(1) = resto da divisão de Q(x) por (x-1)

Q(1) = 16 - 64
               1 + 2

Q(1) = 1 - 64
                 3

Q(1) = -63 / 3

Q(1) =   -21  e este é o resto da divisão de Q(x) por (x-1)

Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.