(UECE 2023.1) Se z é o número complexo tal que 2z + z i - 1 = 0, onde  z é o conjugado de z e i é o número complexo tal que i² = - 1, então o módulo de z é igual a 

a)   √5   .
        3

b)   √5   .
        5

c)   √5   .
        2

d)   √5   .
        4

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2023.1, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 06/11/2022.

Sejam:

z = a + bi  e seu conjugado  z = a - bi

Vamos substituir estes valores na equação:

2z + z i - 1 = 0
2(a+bi) + (a-bi)i - 1 = 0
2a +2bi +ai - bi² - 1 = 0
2a +2bi +ai - b(-1) - 1 = 0
2a +2bi +ai +b - 1 = 0
(2b + a) i + (2a + b - 1) = 0 = 0i + 0

Note que  2b + a = 0  e  2a + b - 1 = 0
Estamos diante de um sistema linear, vamos isolar a na primeira equação e aplicar na segunda

a = -2b

Aplicando na segunda equação, temos que

2(-2b) + b -1 = 0
-4b + b - 1 = 0
-3b = 1
b = -1/3

E finalmente encontraremos a na primeira equação

a = -2b
a = -2(-1/3)
a = 2/3

Até aqui, sabemos que o número complexo z = (2/3) - i/3

O módulo de z é dado por |z| = √a² + b² 

 |z| = √(2/3)² + (-1/3)²  
 |z| = √(4/9) + (1/9)  
 |z| = √ 5/9  
 |z| = √ 5   / √ 9  
 |z| = √ 5 / 3

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.