(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2023) Considere as equações 

x² - 9y² - 6x - 18y - 9 = 0, 

x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0  e  

x² - 4x - 4y + 8 = 0 , 

com (x,y) ∈ ℝ².  Analise e assinale a opção que apresenta, respectivamente, as representações geométricas das equações.

a) Hipérbole, elipse, parábola.
b) Hipérbole, circunferência, reta.
c) Hipérbole, circunferência, parábola.
d) Elipse, circunferência, parábola.
e) Elipse, circunferência, reta.

Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2023, prova do dia 02/04/2023.

Analisando cada equação, temos que:

1) x² - 9y² - 6x - 18y - 9 = 0

De acordo com as alternativas de resposta, a primeira equação só pode ser hipérbole ou elipse.  Note que os sinais trocados dos coeficientes que multiplicam x² e y² nos indicam que não será elipse, então só pode ser hipérbole.  Vamos obter a equação dessa hipérbole para comprovar isso.  Vamos utilizar a técnica de completar os quadrados.

x² - 6x + 9   - 9y² - 18y - 9 = 0 + 9
(x - 3)² - 9 (y² + 2y + 1) = 9
(x - 3)² - 9 (y + 1)² = 9
Dividimos os dois lados da equação por 9
(x - 3)²  -  (y + 1)² = 1
    9
** Chegamos na equação da hipérbole (com centro fora da origem).

2) x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0  

De acordo com as alternativas só pode ser elipse ou circunferência, note também que o mesmo coeficiente +1 multiplica tanto x² quanto y² o que indica ser uma circunferência. Vamos usar a técnica de completar quadrados e obter essa equação de circunferência.

x² - 2x + 1 + y²  + 4y + 4  = 0  + 4
(x - 1)² + (y + 2)² = 2²
** Chegamos na equação reduzida da circunferência centrada em (1,-2) e raio igual 2 .

3) x² - 4x - 4y + 8 = 0

Finalmente, estamos diante da equação de uma parábola y = a.x² + b.x + c

Isolando y temos

x² - 4x + 8 = 4y
y = (1/4) . x² - x + 2

Podemos concluir que as representações geométricas das equações são c) Hipérbole, circunferência, parábola.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do concurso de admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros. 

Um forte abraço e bons estudos.