(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2023) O polinômio P(x) = -x³ + 2x² + mx + n é divisível simultaneamente pelos polinômios Q(x) = x - 1 e R(x) = x - 2.  Determine o valor de m - n e assinale a opção correta.

a) -1
b) 0
c) 1
d) 2
e) 3

Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2023, prova do dia 02/04/2023.

Se P(x) é divisível por x -1 , então

 P("raiz de x-1") = 0

Calculando a raiz de x - 1, temos que:

x - 1 = 0
x = 1

Calculando P(1) = 0, temos que

P(1) = - (1)³ + 2(1)² + m(1) + n = 0
P(1) = - 1 + 2 + m + n = 0
1 + m + n = 0   [Equação I]

P(x) também é divisível por (x-2), então, aplicando o mesmo raciocínio anterior, vamos obter a raiz de x-2

x-2 = 0
x = 2

Calculando P(2) = 0 , temos que

P(2) = -(2)³ + 2(2)² + m(2) + n = 0
-8 + 8 + 2m + n = 0
2m + n = 0 [Equação II]

Chegamos num sistema de equações lineares, vamos resolvê-lo isolando n na segunda equação e aplicando na primeira.

2m + n = 0
n = - 2m

Aplicando na primeira:

1 + m + (- 2m) = 0 
- m = - 1
m = 1

E com este valor de m, podemos encontrar o valor de n na segunda equação.

2(1) + n = 0
n = - 2

Finalmente, temos que (m - n) = 1 - (-2) = 1 + 2 =  3 

Alternativa correta é a letra e).

Uma outra alternativa de resolução seria dividir P(x) por (x-1)(x-2), encontrar o resto da divisão e igualar esse resto a zero.

Note que (x-1)(x-2) = x² - 3x + 2

Efetuando a divisão de (-x³ + 2x² + mx + n) por (x² - 3x + 2) você chegaria em um quociente igual a (-x-1) e um resto igual a (m-1) x + (n+2).  Esse resto tem que ser igual a zero, pois P(x) é divisível por (x² - 3x + 2).  Logo, 

(m-1) = 0
(n+2) = 0

Ou seja,  m = 1 e n = - 2 , exatamente conforme o método de resolução anterior.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do concurso de admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros. 

Um forte abraço e bons estudos.