(FUVEST 2024) Considere a função f, dada por f(x) = b^x, com b > 0, b ≠ 1 e x ∈ ℝ, e a sua inversa f^-1. A figura destaca dois pontos, um pertencente ao gráfico de f e outro ao gráfico de f^-1. Determine b + k.
(FUVEST 2024) Considere a função f, dada por f(x) = bx , com b > 0 , b ≠ 1 e x ∈ ℝ , e a sua inversa f -1. A figura destaca dois pontos, um pertencente ao gráfico de f e outro ao gráfico de f -1. Determine b + k.
a) 5/6
b) 1
c) 6/5
d) 13/5
e) 18/5
Solução: questão de matemática da Prova de Conhecimentos Gerais - FUVEST 2024, prova aplicada no dia 19/11/2023.
O enunciado não nos informa qual dos dois gráficos é o da f(x), mas podemos descobrir isso analisando o seguinte:
f(x) = bx
b > 0 e b ≠ 1, isto quer dizer que para qualquer x real que aplicarmos na f(x), os valores retornados para f(x) serão sempre positivos.
Logo, o gráfico da f(x) é aquele que contém o ponto (3, 27/125), pois este é o único gráfico em que os valores de y são sempre positivos. Obs: podemos notar que este gráfico é decrescente, logo o valor de b está no intervalo 0 < b < 1.
Sabemos também que
27/125 = 3³/5³ = (3/5)³
Vamos obter o valor de b por meio deste ponto.
f(x) = bx
f(3) = b3 = 27/125 = (3/5)³
b3 = (3/5)³
b = 3/5
Note que este valor de b está compreendido entre 0 e 1, conforme já nos indicava o gráfico decrescente da f(x).
No próximo passo, para encontramos o valor de k, precisamos da inversa da f(x).
y = (3/5)x
Para encontrarmos a função inversa, vamos trocar y por x e também x por y.
x = (3/5)y
Agora, precisamos isolar o y. Para fazer isso vamos aplicar log(3/5) nos dois lados da igualdade.
log(3/5) x = log(3/5) (3/5)y
log(3/5) x = y . log(3/5) (3/5)
log(3/5) x = y . 1
log(3/5) x = y
y = log(3/5) x
Ou seja, a função inversa da função exponencial desse problema é uma função logarítmica. Com ela, podemos encontrar k, utilizando o ponto (9/25, k) que pertence ao gráfico de f -1.
k = log(3/5) (9/25)
k = log(3/5) (3/5)²
k = 2 . log(3/5) (3/5)
k = 2 . 1
k = 2
Finalmente, a soma b + k = (3/5) + 2 = 13/5
Alternativa correta é a letra d).
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da FUVEST.
Um forte abraço e bons estudos.