(BNB 2024 - CESGRANRIO) Em um determinado banco, atualmente, o investimento P conta com 6 vezes o número de clientes do investimento Q.  Porém, anualmente, o número de clientes do investimento P decresce 8%, enquanto o do investimento Q cresce 14%. 

Supondo-se que essas taxas se mantenham, esses dois investimentos terão o mesmo número de clientes em um total de anos dado por

(A)  6 · log10 1,14
  log10 0,92

(B)    log10 14
  6 · log10 8

(C)                  log10 6
    log10 14 - log10 8

(D)                          6
 log10 1,14 - log10 0,92

(E)                   log10 6
 log10 1,14 - log10 0,92
Solução: questão de Matemática/Raciocínio Lógico e Quantitativo do Concurso Público de 2024 do Banco do Nordeste do Brasil S.A. (BNB), cargo: Analista Bancário I, banca examinadora: Fundação Cesgranrio.  Prova aplicada em 28/04/2024.

Uma questão muito interessante sobre funções exponenciais envolvendo aplicação de propriedades dos logaritmos. 

Caso necessário, você pode revisar as propriedades na lista a seguir:


Do enunciado: "O investimento P conta com 6 vezes o número de clientes do investimento Q."

Deste modo, vamos considerar que o investimento Q possui K clientes e, por conseguinte, o investimento P possui 6K clientes.

Obs:  esse problema também pode ser resolvido utilizando uma quantidade numérica qualquer, por exemplo, Q com 100 clientes e P com 600 clientes.  Mas vamos trabalhar com K e 6K.

Do enunciado: "Porém, anualmente, o número de clientes do investimento P decresce 8%, enquanto o do investimento Q cresce 14%."

Vamos utilizar p(t) e q(t) para representar, em função de um tempo t em anos (com t≥0), as quantidades de clientes, respectivamente dos investimentos P e Q.  


Vamos utilizar a fórmula de valor futuro, a mesma utilizada na tradicional fórmula dos juros compostos.  

VF = VP (1 + i)t

Sendo,
VF = Valor futuro
VP = Valor presente 
i = taxa
t = tempo (em anos nesse problema)



>> Quantidade de clientes do investimento P

p(t) = 6K (1 - 8%)t
p(t) = 6K (1 - 0,08)t
p(t) = 6K (0,92)t

>> Quantidade de clientes do investimento Q

q(t) = K(1 + 14%)t
q(t) = K(1 + 0,14)t
q(t) = K(1,14)t


Para calcularmos o tempo t (em anos) em que esses dois investimentos terão o mesmo número de clientes, basta igualar p(t) = q(t) e encontrar t.

6K (0,92)t =  K(1,14)t
6 (0,92)t =  (1,14)t
6 =  (1,14)t  
         (0,92)t 
6 = (1,14/0,92)t

Aplicar log10 nos dois lados da igualdade.

log10 6 = log10 (1,14/0,92)t
log10 6 = t · log10 (1,14/0,92)
log10 6 = t · (log10 1,14 - log10 0,92)

t =                log10 6
 log10 1,14 - log10 0,92


Alternativa correta é a letra e).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do BNB.

Um forte abraço e bons estudos.