(EEAR CFS 1/2025) Considere a matriz simétrica

figura da matriz simétrica A

Então, o valor de det A-1 é ______ .

a) 1/25
b) -1/41
c) -2
d) 1

Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas de Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica CFS 1/2025.  Prova aplicada em 14/07/2024.

A matriz A é simétrica, logo, A é igual a sua transposta, ou seja, A = At.

Vamos escrever At, para fazer isso, pegaremos a linha 1, linha 2 e linha 3 da matriz A e elas serão, respectivamente, a coluna 1, coluna 2 e coluna 3 de At.

figura da matriz transposta de A

Agora, vamos obter os valores de x e y por meio da igualdade de matrizes.

figura da matriz A é igual a sua transposta

Assim, temos que 

2 = 2
x² = 1
x = -1
1 = x²
0 = 0
y+2 = 6-y
-1 = x
6-y = y+2
1 = 1

De todas essas igualdades, vamos focar naquelas que realmente nos interessam para obter x e y, são elas:

x² = 1
x = -1
y+2 = 6-y

Vamos trabalhar nas duas primeiras para obter x.

x² = 1
x = ±√1
x = ± 1

Para satisfazer somente essa igualdade, o valor x pode ser 1 ou -1.

Analisando a segunda igualdade, temos que 

x = -1

O valor de x só pode valer -1, pois vai satisfazer (x = -1) assim como também vai satisfazer (x² = 1).  Portanto, descartamos a possibilidade de x valer 1 e ficamos apenas com x = -1.

Vamos encontrar o valor de y

y+2 = 6-y
2y = 6-2
2y = 4
y = 4/2
y = 2

Agora que já sabemos quanto vale x e y, vamos escrever a matriz A.

matriz A apenas com números



Calculando o determinante de A, chegaremos no resultado:  det A = -41

Caso necessário, você pode revisar por aqui, como calcular o determinante de uma matriz 3x3 usando a Regra de Sarrus.  Aproveite para praticar o cálculo desse determinante e conferir o resultado.

Finalmente, utilizando as propriedades dos determinantes, temos que 

det A-1  = 1 / detA
det A-1  = 1 / (-41)
det A-1  = -1/41

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR. 

Um forte abraço e bons estudos.