(UERJ 2016) Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, têm a forma de dodecaedros regulares. Se os dodecaedros estão justapostos por uma de suas faces, que coincidem perfeitamente, formam um poliedro côncavo, conforme ilustra a figura.
(UERJ 2016) Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, têm a forma de dodecaedros regulares. Se os dodecaedros estão justapostos por uma de suas faces, que coincidem perfeitamente, formam um poliedro côncavo, conforme ilustra a figura.
Considere o número de vértices V, de faces F e de arestas A desse poliedro côncavo. A soma V + F + A é igual a:
(A) 102 (B) 106 (C) 110 (D) 112
Solução: uma questão de matemática muito interessante do Vestibular UERJ 2016 (1º Exame de Qualificação), prova aplicada em 14/06/2015.
Em primeiro lugar, vamos calcular para um dodecaedro regular, que é um poliedro convexo, a sua quantidade de vértices V, de faces F e de arestas A.
Em poliedros convexos, vale a relação de Euler:
V + F = A + 2
Em poliedros côncavos, essa relação é sempre válida?
A resposta para essa pergunta é bem interessante e recomendo você se aprofundar um pouco mais com a questão do ENEM PPL 2019 no link a seguir:
É uma questão com uma contextualização muito interessante sobre essa fórmula, vale a pena dar uma conferida também.
O dodecaedro regular possui 12 faces, logo F = 12, e essas faces são pentagonais, ou seja, cada face possui 5 arestas, então vamos calcular a quantidade de arestas.
Vamos multiplicar as 12 faces por 5 arestas e chegaremos em 60 arestas. Depois disso, temos que dividir essa quantidade por 2 para evitar a dupla contagem.
A = (12 x 5)/2
A = 60/2
A = 30
** Atenção: temos que dividir essa quantidade por 2, uma vez que as arestas estão sendo contadas duas vezes. Basta pensar no exemplo do cubo, ele tem 6 faces quadradas, então são (6 x 4)/2 = 24/2 = 12 arestas. O cubo tem 12 arestas e não 24. Você pode repetir esse teste com uma pirâmide de base quadrada. Essa pirâmide tem uma face quadrada na sua base e outras quatro faces triangulares: (1 x 4 + 4 x 3)/2 = 16/2 = 8 arestas. Estes poliedros são fáceis de se fazer uma verificação e ilustrar bem isso.
Agora, usando a relação de Euler, vamos calcular a quantidade de vértices V.
V + F = A + 2
V + 12 = 30 + 2
V + 12 = 32
V = 20
O dodecaedro regular possui: F = 12, A = 30 e V = 20.
Como a figura do enunciado é formada por dois dodecaedros regulares justapostos, então, multiplicamos esses valores por 2.
F = 12×2, A = 30×2 e V = 20×2
F = 24, A = 60 e V = 40
Atenção, ainda precisamos subtrair algumas quantidades, repare na figura que quando os dois dodecaedros regulares foram unidos, duas dessas faces foram "perdidas", ou seja, se analisarmos bem, o poliedro côncavo formado possui 12 + 12 - 2 = 22 faces.
Além disso, podemos notar também que do jeito que eles foram unidos, eles estão "compartilhando" 5 vértices e 5 arestas, perceba em destaque na figura a seguir:
F = 24, A = 60 e V = 40
Temos que subtrair 2 faces, 5 arestas e 5 vértices.
F = 24-2 = 22, A = 60-5 = 55 e V = 40-5 = 35
E a soma F + A + V vale 22 + 55 + 35 = 112
Alternativa correta é a letra d).
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UERJ.
Um forte abraço e bons estudos.