(UERJ 2025) Uma pessoa tem no bolso, exatamente, sete notas de valores diferentes: 2, 5, 10, 20, 50, 100 e 200 reais, como mostra a imagem.

foto das notas de 2, 5, 10, 20, 50, 100 e 200 reais

Essa pessoa retira do bolso, ao acaso, apenas três dessas notas. 

O número total de retiradas diferentes em que as três notas somam valor maior que 50 reais é igual a: 

(A) 29 (B) 30 (C) 31 (D) 32

Solução: questão de matemática do Vestibular UERJ 2025 (2º Exame de Qualificação), prova aplicada em 08/09/2024.

Para a soma das notas superar 50 reais, basta que saia pelo menos uma nota de 200 reais, ou pelo menos uma nota de 100 reais ou pelo menos uma nota de 50 reais (pois esta última, com ajuda de outras duas notas resultarão em mais de 50 reais).  

Agora, se nenhuma dessas notas sair, as outras 4 notas, são elas, 2,5,10 e 20, quando 3 forem selecionadas, elas nunca conseguirão juntas superar 50 reais.  Note, por exemplo, que 20 + 10 + 5 = 35 reais.

Sendo assim, vamos fazer o seguinte cálculo:

(Total de casos) = (Total de casos que não supera 50 reais) + (Total de casos que supera 50 reais)

Nós queremos o total de casos que supera 50 reais, então vamos isolar:

(Total de casos que supera 50 reais) = (Total de casos) - (Total de casos que não supera 50 reais)

Esse problema é de combinação, pois uma retirada, por exemplo, de 2, 5 e 10 é a mesma que 5,10 e 2, a soma das três notas será a mesma, a ordem não importa, nesse caso usamos a fórmula de combinação.

C n,p = n! / [p!(n-p)!]

Total de casos, usamos n = 7 e p = 3.  Isto porque são 7 notas tomadas 3 a 3.

C 7,3 = 7! / [3!(7-3)!]
C 7,3 = (7·6·5·4!) / (6·4!)
C 7,3 = 35

Total de casos que não supera 50 reais, usamos n = 4 e p = 3.  Isto porque são 4 notas (são elas 2,5,10 e 20) tomadas 3 a 3.

C 4,3 = 4! / [3!(4-3)!]
C 4,3 = 4

Agora é só subtrair:

(Total de casos que supera 50 reais) = (Total de casos) - (Total de casos que não supera 50 reais)
(Total de casos que supera 50 reais) = 35 - 4 =  31 

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UERJ.

Um forte abraço e bons estudos.