(ESA 2025) Dado o número complexo z = 3 (cos π/3 + i sen π/3), em que i é a unidade imaginária, marque a alternativa que indica a potência z4.

a)    81 
- 1  - i √3 
   2        2
b)  
4√3 
√2  - i √2 
 2           2
c)    81 
√3  + i  1 
  2          2
d)    27 
- 1 + i √3 
   2        2
e)  
4√3 
-√2 - i √2 
   2         2
Solução: questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2024 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2025 – 26.  Prova aplicada em 15/09/2024.

Para resolver essa questão de números complexos, vamos utilizar a fórmula de Moivre.

zn = ρn (cos n θ + i sen n θ)

Neste problema, temos que

θ = π/3 ,  n = 4 e ρ = 3

Aplicando estes valores na fórmula

z4 = 34 (cos 4π/3 + i sen 4π/3)


4π/3 = 4 · 180°/3 = 240°

240° está no terceiro quadrante, neste, seno e cosseno são negativos.

Reduzindo 240° ao primeiro quadrante:

240° - 180° = α 
α = 60°

Portanto, 

cos 240° = - cos 60° = -1/2
sen 240º = - sen 60° = - √3 /2


z4 = 34 (cos 4π/3 + i sen 4π/3)

z4 = 81 (-1/2  - i √3 /2 )

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da ESA.

Um forte abraço e bons estudos.