(ESA 2025) A figura abaixo ilustra a propriedade refletora da hipérbole. Se um raio partir de um ponto 𝐴 e seguir em direção a 𝐹2, então ele é refletido pela hipérbole, no ponto 𝑃, e segue em direção a 𝐹1.
(ESA 2025) A figura abaixo ilustra a propriedade refletora da hipérbole. Se um raio partir de um ponto 𝐴 e seguir em direção a 𝐹2, então ele é refletido pela hipérbole, no ponto 𝑃, e segue em direção a 𝐹1.
Considere a hipérbole 4𝑥² − 5𝑦² = 20 de focos 𝐹1 e 𝐹2, com 𝐹1 à esquerda de 𝐹2. Qual das retas abaixo dá a direção do raio que deve partir do ponto 𝐴(1,3) para ser refletido no ramo da direita da hipérbole e caminhar em direção a 𝐹1?
Ⓐ 3𝑥 + 2𝑦 − 9 = 0
Ⓑ 2𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0
Ⓒ 𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0
Ⓓ 2𝑥 − 𝑦 + 7 = 0
Ⓔ 𝑥 − 2𝑦 + 8 = 0
Solução: questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2024 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2025 – 26. Prova aplicada em 15/09/2024.
Essa questão de geometria analítica tem, em seu enunciado, uma contextualização interessante. Nosso objetivo é descobrir a equação da reta que passa pelos pontos A(1,3) e F2(c,0).
Em primeiro lugar vamos encontrar as coordenadas do ponto F2.
Sabemos que a equação reduzida da hipérbole com o eixo real sobre o eixo x e centrada na origem é dada pela fórmula
(x²/a²) - (y²/b²) = 1
As coordenadas dos focos são: F1(-c,0) e F2(c,0) que podem ser encontradas usando a relação
c² = a² + b²
Vamos trabalhar na equação da hipérbole fornecida no enunciado para encontrar c.
4𝑥² − 5𝑦² = 20
Dividir os dois lados da igualdade por 20.
(4𝑥² − 5𝑦²)/20 = 20/20
x²/5 - y²/4 = 1
Podemos notar que a² = 5 e b² = 4, logo
c² = a² + b²
c² = 5 + 4
c² = 9
c = 3
Deste modo, os focos dessa hipérbole são F1(-3,0) e F2(3,0).
Agora, precisamos encontrar a equação da reta que passa por A(1,3) e F2(3,0).
Vamos obter essa equação utilizando a equação fundamental da reta que passa pelo ponto (xo,yo) e tem coeficiente angular m.
y - yo = m (x - xo)
Vamos calcular o coeficiente angular:
m = (y2 - y1)/(x2 - x1)
m = (0 - 3)/(3 - 1)
m = -3/2
Vamos escolher as coordenadas do ponto F2, assim, temos que
(xo,yo) = (3,0) e m = -3/2.
y - 0 = (-3/2) ( x - 3)
2y = -3x + 9
3x + 2y - 9 = 0
Alternativa correta é a letra a).
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da ESA.
Um forte abraço e bons estudos.