(ESA 2025) As figuras abaixo foram desenhadas segundo uma progressão geométrica. Seguindo este padrão, qual é a fração que representa a região não sombreada da FIGURA 8?

desenho das figuras 1, 2 e 3

a) 1/512
b) 1/256
c) 1/128
d) 127/128
e) 255/256

Solução: questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2024 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2025 – 26.  Prova aplicada em 15/09/2024.

Uma questão de progressão geométrica bem interessante, nesta resolução, vamos considerar o seguinte:

  • X é a fração que representa a região NÃO sombreada da FIGURA 8; 
  • Y é a fração que representa a região sombreada da FIGURA 8.

Atenção, pois nosso objetivo é encontrar X, para simplificar os comentários, vamos nos referir a

  • "fração que representa a região NÃO sombreada da FIGURA 8"  por "(área clara)/(área total)".
  • "fração que representa a região sombreada  da FIGURA 8" por "(área escura)/(área total)".

Assim, temos que

  • X = área clara/área total; 
  • Y = área escura/área total.

** E a gente sabe aí que esse cálculo é relativo a FIGURA 8, que é o objetivo do enunciado.

Só existe área clara ou área escura, então a soma (área clara + área escura) = (área total), e assim temos que 

X + Y = 1   "Equação 1"


Caso necessário, você pode compreender a Equação 1, neste passo a passo:

Somando X + Y temos

(área clara/área total)  + (área escura/área total)
(área clara + área escura)/(área total)

E sabemos que (área clara + área escura) = (área total)

(área clara + área escura)/(área total)
(área total)/(área total)
1

Assim, visualizamos passo a passo que X + Y = 1




Por exemplo, quando sabemos que a área escura ocupa 1/4 da figura, então a área clara vai ocupar 3/4 da figura, vejamos:

X + 1/4 = 1
X = 1 - 1/4
X = 3/4


Definidos estes conceitos, vamos para os cálculos.  Pelo desenvolvimento das figuras ilustradas no enunciado, sabemos que a Figura 8 terá uma área clara bem maior do que área escura.  Logo, temos que X > Y e isso nos permite eliminar as três primeiras alternativas de resposta.

Analisando as figuras:

Figura 1: área escura/área total = 1/2 = 1/21
Figura 2: área escura/área total = 1/4 = 1/22
Figura 3: área escura/área total = 1/8 = 1/23
( .... )
Figura 8: área escura/área total = 1/28 = 1/256

Portanto, na FIGURA 8 

Y = 1/256

Atenção, essa é uma das alternativas de resposta, entretanto, o objetivo é encontrar X.

Usando a Equação I, encontraremos X.

X + Y = 1
X + 1/256 = 1
X = 1 - 1/256

Trocando 1 por 256/256

X = (256/256) - (1/256)
X = (256 - 1)/256
X = 255/256

Alternativa correta é a letra e).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da ESA.

Um forte abraço e bons estudos.