(ESA 2025) O Batalhão de Comando e Serviços da ESA é composto por 𝑛 homens e 𝑚 mulheres e foi acionado para uma operação no centro da cidade de Três Corações – MG. O Comandante do Batalhão deve formar um grupamento com 𝑟 militares, 𝑟 ≤ 𝑛 e 𝑟 ≤ 𝑚. Assim, o número de grupamentos que podem ser formados é dado por: 

a)  
r ∑ k = 0
  
(
n k
)

 
(
m r − k
)
b)  
r ∑ k = 0
  
(
m k
)

 
(
m r − k
)
c)  
r ∑ k = 0
  
(
n k
)

 
(
m r
)

d)  
r ∑ k = 0
  
(
n k
)

 
(
n r − k
)
e)  
r ∑ k = 0
  
(
n k
)

 
(
m k
)

Solução: uma questão interessante de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2024 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2025 – 26.  Prova aplicada em 15/09/2024.

Neste problema, quando olhamos para um grupo, a ordem em que os militares aparecem não importa, por exemplo,  um grupo formado pelos militares A, B e C, é o mesmo que o grupo formado por C, B e A.  Logo, para resolver esse problema de análise combinatória, vamos trabalhar com a fórmula da combinação simples.

C n,p =       n!     
               p!(n - p)!

Uma pista adicional, note que todas as alternativas de resposta possuem uma representação com      
(
n p
)
.

Nesta resolução, cuidado para não confundir o n da fórmula tradicional acima com o 𝑛 do enunciado que representa a quantidade de homens disponíveis.

Neste problema, para formar um grupamento com 𝑟 militares, podemos ter

>> 0 homens E r mulheres
         OU 
>> 1 homen E (r - 1) mulheres
         OU
>> 2 homens E (r - 2 ) mulheres
         ( .....)
>> (r - 1) homens E 1 mulher
         OU
>> r homens E 0 mulheres

Temos que calcular todos esses casos e somá-los.  Repare que em cada uma dessas linhas, a soma das quantidades de homens e mulheres sempre dá r.  A ideia é a seguinte, por exemplo, para formar grupos de 3 militares, podemos ter "0 homens E 3 mulheres" OU "1 homen E 2 mulheres" OU "2 homens E 1 mulher" OU "3 homens E 0 mulheres".  Calculamos cada um deles e depois somamos.

Vamos fazer o cálculo comentado para a primeiro linha, e a partir daí, repetir a estrutura para as demais.

Vamos formar grupos com

Quantidade de homens = 0 
Quantidade de mulheres = r

Como temos 𝑛 homens e 𝑚 mulheres disponíveis, então calculamos:  

C n,0 × C m,r

Que também pode ser representado por 

(
n 0
)
×
(
m r
)


Obs:  trabalhando com letras, pode ser mais difícil compreender do que com números.  Caso necessário, é recomendável ver esse tipo de problema envolvendo números em um exemplo prático.  Essa questão pode ajudar a ilustrar melhor.      

Na segunda linha, as quantidades são

Quantidade de homens = 1 
Quantidade de mulheres = r-1

Como temos 𝑛 homens e 𝑚 mulheres disponíveis, então calculamos: 

(
n1
)
×
(
mr-1
)


O que vamos fazer agora é escrever todas essas linhas e somá-las.


(
n 0
)
×
(
m r
)
 +

(
n 1
)
×
(
m r-1
)
 +

(
n 2
)
×
(
m r-2
)
 +

        ( ..... )

(
n r-1
)
×
(
m 1
)
 +

(
n r
)
×
(
m 0
)


Podemos representar a soma de todas estas linhas utilizando um somatório

     
r ∑ k = 0
  
(
n k
)

 
(
m r − k
)


Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da ESA.

Um forte abraço e bons estudos.