(UECE 2024.2) Considere, no plano, o triângulo OIE e K um ponto em seu interior, tal que as medidas dos ângulos OîK, EÔI, KÊO são, cada uma delas, iguais a 45°. Se a medida do lado IE é igual a 8 m, então, é correto afirmar que a medida, em m², da área do quadrilátero OIKE é igual a
(UECE 2024.2) Considere, no plano, o triângulo OIE e K um ponto em seu interior, tal que as medidas dos ângulos OîK, EÔI, KÊO são, cada uma delas, iguais a 45°. Se a medida do lado IE é igual a 8 m, então, é correto afirmar que a medida, em m², da área do quadrilátero OIKE é igual a
A) 28. B) 30. C) 26. D) 32.
Nota: O prolongamento do segmento IK corta o lado OE no ponto M formando o triângulo OIM retângulo isósceles.
Solução: uma questão muito interessante de matemática (geometria plana) do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2024.2, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada em 28/04/2024.
Em primeiro lugar, vamos esboçar o triângulo OIE e o ponto K em seu interior com as medidas informadas no enunciado.
Com essas medidas preenchidas, é possível observar que o triângulo KME também é um triângulo retângulo isósceles, isto porque ele possui um ângulo de 90° e outro de 45°, assim, para completar os 180° (a soma dos três ângulos internos de um triângulo vale 180°), é necessário que o ângulo MKE seja também de 45°. A seguir, vamos atualizar a figura com mais informações:
No triângulo OIM retângulo isósceles, as medidas dos catetos OM e MI são iguais a um valor x qualquer.
No triângulo KME retângulo isósceles, as medidas dos catetos KM e ME são iguais a um valor y qualquer.
O nosso objetivo é calcular a área do quadrilátero OIKE, suas arestas estão destacadas na cor vermelha. Podemos calcular essa área somando as áreas dos triângulos OIM e KME.
Área de OIM = (base x altura)/2 = (x·x)/2 = x²/2
Área de KME = (base x altura)/2 = (y·y)/2 = y²/2
Área de OIKE = Área de OIM + Área de KME
Área de OIKE = (x²/2) + (y²/2)
Área de OIKE = (x² + y²)/2
Agora, precisamos descobrir quanto vale x² + y² para finalmente encontrar essa área.
Analisando a figura, no triângulo retângulo IME, podemos descobrir essa medida usando o Teorema de Pitágoras:
x² + y² = 8²
x² + y² = 64
Finalmente, é só trocar o x² + y² por 64 e encontraremos a área de OIKE em m².
Área de OIKE = (x² + y²)/2
Área de OIKE = 64/2
Área de OIKE = 32
Alternativa correta é a letra d).
Particularmente, achei a questão bem interessante, pois requer que as figuras sejam desenhadas com base em instruções que são dadas no enunciado e envolve também vários aspectos da geometria plana.
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.
Um forte abraço e bons estudos.