(UECE 2024.2) Em um triângulo retângulo, a medida da hipotenusa é igual a 2 m e as medidas dos ângulos internos, usando a unidade “grau”, constituem uma progressão aritmética. Se as medidas dos catetos, em metro, são x e y, então, o produto x.y é igual a
(UECE 2024.2) Em um triângulo retângulo, a medida da hipotenusa é igual a 2 m e as medidas dos ângulos internos, usando a unidade “grau”, constituem uma progressão aritmética. Se as medidas dos catetos, em metro, são x e y, então, o produto x.y é igual a
a) √2 m².
b) √3 m².
c) 2√3 m².
d) 3√2 m².
Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2024.2, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada em 28/04/2024.
Em um triângulo retângulo, sabemos que um dos três angulos internos tem que medir 90°. Além disso, a soma dos três angulos internos de um triângulo mede 180°, sejam a e b os outros dois ângulos internos, então temos que
a + b + 90° = 180°
a + b = 180° - 90°
a + b = 90°
É notório que tanto a quanto b são inferiores a 90°, logo, vamos considerar que a < b e escrever em ordem crescente os termos dessa progressão aritmética (PA):
a ; b ; 90°
Considerando que r é a razão dessa PA, podemos escrever b = 90° - r e também a = 90° - 2r.
90° - 2r ; 90°- r ; 90°
Como já sabemos que (a+b) vale 90°, então vamos encontrar r resolvendo equação a seguir:
(90° - 2r) + (90°- r) = 90°
180° - 3r = 90°
180° - 90° = 3r
3r = 90°
r = 90°/3
r = 30°
Assim, podemos encontrar quanto mede os ângulos a e b.
a = 90° - 2r = 90° - 2(30°) = 90° - 60° = 30°
b = 90° - r = 90° - 30° = 60°
Assim, temos que os três angulos internos desse triângulo retângulo medem 30°, 60° e 90°. Com essas medidas, vamos ilustrar o triângulo retângulo ABC.
Agora, vamos obter x e y usando relações trigonométricas:
x = 2 · (1/2) = 1 m
cos30° = y/2
y = 2 · (√3 /2) = √3 m
E o produto x · y = 1 m · √3 m = √3 m²
Alternativa correta é a letra b).
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.
Um forte abraço e bons estudos.