Para ilustrar essa resolução, vamos considerar que as 10 pessoas são A,B,C,D,E,F,G,H,I e J.
Vamos trabalhar com a fórmula da combinação, isto porque olhando para um único grupo com ABCDE ou com EDCBA o grupo será o mesmo, a ordem da escolha não importa e vamos contar só uma vez.
Perceba também que os dois grupos não estão "etiquetados", por exemplo, repare que não existe aí um grupo verde e um grupo amarelo, ou então, um grupo de colaboradores da área financeira e um grupo de colaboradores da área comercial, dentre outros.
Como os grupos não recebem nessa questão nenhum tipo de distinção ("etiqueta"), então as duas maneiras exemplificadas a seguir serão contadas como uma única maneira e não duas.
As duas maneiras acima são as mesmas, só estamos mudando a ordem dos grupos, então, nesta resolução, precisamos atentar para este fato durante a contagem.
A estratégia para a contagem do número de maneiras que se pode utilizar para dividir 10 pessoas em dois grupos de cinco pessoas será a seguinte:
Calcular a quantidade de combinações que podemos fazer com 10 elementos tomados 5 a 5.
C n,p = n! / [p!(n-p)!]
Aplicamos n = 10 e p = 5.
C 10,5 = 10! / [5!(10-5)!]
C 10,5 = 10·9·8·7·6·5! / (5·4·3·2·1·5!)
C 10,5 = 252
Essa quantidade representa as 252 maneiras para criarmos um grupo de 5 pessoas a partir de uma lista de 10 pessoas, vamos escrevê-las a seguir:
M1) ABCDE
M2) ABCDF
M3) ABCDG
(.......)
M250) EFHIJ
M251) EGHIJ
M252) FGHIJ
E como formamos o outro grupo para cada uma dessas 252 maneiras? Como são 10 pessoas e 5 já foram usadas, sobram exatamente as outras 5 para o outro grupo, ou seja, olhando para M1 o primeiro grupo tem ABCDE e o outro grupo só poderá ter FGHIJ. É o mesmo que a combinação de 5 elementos tomados 5 a 5, ou seja, C 5,5 = 1. A seguir, vamos preencher o outro grupo.
M1) ABCDE FGHIJ
M2) ABCDF EGHIJ
M3) ABCDG EFHIJ
(.......)
M250) EFHIJ ABCDG
M251) EGHIJ ABCDF
M252) FGHIJ ABCDE
Com a ilustração acima, será mais fácil visualizar que existem repetições. Olhando para as maneiras M1 e M252, podemos notar que elas são as mesmas. O mesmo ocorre com M2 e M251, e também com M3 e M250, ou seja, neste problema o 252 precisa ser dividido por 2 para eliminar a dupla contagem. Dividindo 252 por 2 chegaremos em 126 maneiras.
Finalmente, podemos concluir que o número de maneiras que se pode utilizar para dividir 10 pessoas em dois grupos de cinco pessoas é igual a 126.
Alternativa correta é a letra c).
Visualizando um exemplo similar com números menores, por exemplo, vamos calcular o número de maneiras que se pode utilizar para dividir 4 pessoas em dois grupos de duas pessoas.
Vamos supor que as pessoas são A, B, C e D.
Calcular C4,2 = 4!/(2!2!) = 6
Este exemplo é pequeno, assim é bem fácil listar todos esses casos, são eles:
M1) AB
M2) AC
M3) AD
M4) BC
M5) BD
M6) CD
E como formamos o segundo grupo? São 4 pessoas, 2 já estão no primeiro, só restam 2 pessoas para o segundo, vamos preencher com as que faltam.
M1) AB CD
M2) AC BD
M3) AD BC
M4) BC AD
M5) BD AC
M6) CD AB
Novamente, vamos perceber que as maneiras M1 e M6 são as mesmas, assim como M2 e M5 e também M3 e M4. Repare que não são 6 maneiras, são apenas 3. Novamente, neste problema, dividimos 6 por 2 e chegamos em 3 maneiras.
Ou então, aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.
Um forte abraço e bons estudos.
