(UECE 2024.2) O valor do número real positivo x que satisfaz a igualdade

(UECE 2024.2) O valor do número real positivo x que satisfaz a igualdade

  

é

A) 20√3 .
B) 30√2 .
C) 20√5 .
D) 30√5 .

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Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2024.2, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada em 28/04/2024.

Para resolver essa equação logarítmica, em primeiro lugar, vamos realizar a mudança de base dos logaritmos:

log_ab = log_cb

                 log_ca

Nesta resolução, vamos utilizar c = 10

log_ab = log₁₀b

                 log₁₀a

Além disso, vamos representar log₁₀ x simplesmente com log x.  Assim, temos que 

log_ab = log b

                 log a

Realizando a mudança de base dos logaritmos, vamos ter o seguinte:

log₂x = log x

                 log 2

log₃x = log x

                 log 3

log₅x = log x

                 log 5

Assim, podemos reescrever a equação do enunciado:

[3/(log x / log 2)] + [2/(log x / log 3)] + [2/(log x / log 5)] = 2

[(3 log 2)/ log x] + [(2 log 3)/ log x] + [(2 log 5)/ log x] = 2

(3 log 2 + 2 log 3 + 2 log 5)/log x = 2

Utilizando a seguinte propriedade dos logaritmos:

a · log b = log b^a

Assim, temos que

• 3 log 2 = log 2³
• 2 log 3 = log 3²
• 2 log 5 = log 5²
• 2 log x = log x²

log 2³ + log 3² + log 5² = 2 log x 

log 2³ + log 3² + log 5² = log x² 

Utilizando a seguinte propriedade dos logaritmos:

log a + log b + log c = log (a·b·c)

Assim, temos que

log 2³ + log 3² + log 5² = log (2³·3²·5²) 

log (2³·3²·5²) = log x² 

x² = 2³·3²·5²

x = 2·3·5√2

x = 30√2

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.