(UECE 2024.2) Se n é um número inteiro positivo, define-se fatorial de n, denotado n!, que é expresso por n! = 1.2.3. . . n. Por exemplo, 3! = 1.2.3 = 6; 5! = 1.2.3.4.5 = 120. Assim, é correto afirmar que a quantidade de zeros com que termina o número 15! é

A) 6. B) 3. C) 5. D) 4.

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2024.2, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada em 28/04/2024.

Para descobrirmos a quantidade de zeros com que termina o número 15!, precisamos decompor esse número e ver a quantidade de vezes que o 10 aparece nessa decomposição.  Sabemos que 10 = 2·5, então, toda vez que contabilizarmos um par 2·5, temos um 10.

Antes de resolver a questão, vamos ver alguns exemplos com números menores.  Por exemplo, o número 330 termina com apenas um zero, nós já sabemos disso, pois estamos vendo o número prontinho ali, diferentemente do 15! que é um número enorme que precisaríamos calcular.

Vamos analisar a decomposição do 330.

330 = 3·11·10 = 3·11·2·5

A dupla 2·5, que vale 10,  aparece uma única vez nessa decomposição, então o número terminará com um 0.

E o número 3300?  Novamente, sabemos que a quantidade de zeros com que 3300 termina é igual a 2, mas vamos fazer a decomposição em fatores primos desse número.

3300 = 3·11·10·10 = 3·11·2·5·2·5

Podemos perceber que o 3300 termina com dois 0, então na decomposição dele vai aparecer o 10 duas vezes, ou seja, vai aparecer o par 2·5 duas vezes.

Este raciocínio é útil para agilizar nosso trabalho no 15!

15! = 1·2·3·4· ... ·13·14·15

Nós queremos saber quantas vezes o par 2·5 aparece nesse número.  A primeira coisa que podemos perceber é que a quantidade de vezes que o 2 aparece é bem maior do que a quantidade de vezes que o 5 aparece.   Repare que existem vários números pares nessa decomposição, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 e todos eles possuem pelo menos um número 2 na sua decomposição.  

Já a quantidade de vezes que o 5 aparece é bem menor, neste caso, ele só aparece uma vez nos números 5, 10 e 15.  Ou seja, o 5 só aparece 3 vezes na decomposição do 15!, enquanto o 2 aparece muito mais vezes do que o 5.  Deste modo, a quantidade de pares 2·5 será determinada pelo que aparece menos, no caso, o número 5.   

Portanto, na decomposição do 15! a quantidade de pares 2·5 é igual a 3, ou seja, a quantidade de vezes que o 10 aparece na decomposição do 15! é igual a 3.

Finalmente, podemos concluir que a quantidade de zeros com que termina o número 15! é igual 3.

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.