(UFPR 2025) Em um campeonato de futebol, cada vitória vale 3 pontos, o empate vale apenas 1 ponto e a derrota, nenhum ponto. Um time perdeu apenas 2 dos 34 jogos que disputou e somou 78 pontos. Quantos empates ele obteve na competição?

a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2025. Prova aplicada em 20/10/2024.

Vamos resolver essa questão passo a passo com um sistema de equações lineares.

Sejam, 

  • x a quantidade de empates;
  • y a quantidade de vitórias.

Sabemos que a soma da quantidade de derrotas, empates e vitórias é igual ao total de jogos que esse time disputou, foram 34 jogos no total.  Sabemos também que ele perdeu 2 destes jogos.  Assim, temos que

2 + x + y = 34
x + y = 34 - 2
x + y = 32  "Equação I"

A seguir, vamos montar mais uma equação com a seguinte informação do enunciado: cada vitória vale 3 pontos, o empate vale apenas 1 ponto e a derrota, nenhum ponto.

  • Pontos obtidos por meio de empates: multiplicamos a quantidade de empates por 1, ou seja, x·1 = x;
  • Pontos obtidos por meio de vitórias: multiplicamos a quantidade de vitórias por 3, ou seja, y·3 = 3y;
  • Reforçando que com as derrotas ele não ganha pontos.

O enunciado nos informa que o time somou 78 pontos, logo, temos que

x + 3y = 78   "Equação II"

Agora, estamos diante do sistema linear:

{ x + y = 32
x + 3y = 78

Nosso objetivo é encontrar x.  Podemos resolver esse sistema linear de várias maneiras.  Uma delas, consiste em isolar y na primeira equação e aplicar na segunda.

y = 32 - x

Aplicando na segunda

x + 3 (32 - x) = 78
x + 96 - 3x = 78
-2x = 78 - 96
-2x = -18
x = -18/-2
x = 9

Alternativa correta é a letra d).

Curiosidade:  encontrando o número de vitórias usando a primeira equação.

9 + y = 32
y = 32 - 9
y = 23

Calculando o total de pontos: com 9 empates e 23 vitórias, a equipe somou

9·1 + 23·3 = 9 + 69 = 78 pontos  ✔

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFPR.

Um forte abraço e bons estudos.