(UFPR 2025) No plano cartesiano, considere os pontos P = (2a, 0) e Q = (a+1, a-1), sendo a um número real positivo. Sabendo que a distância entre P e Q é igual a √8 cm, assinale a alternativa que corresponde ao valor de a.

A) 1/2
B) √3
C) 1
D) 2
E) 3

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2025. Prova aplicada em 20/10/2024.

Na geometria analítica, podemos calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano por meio da

fórmula da distância entre dois pontos

(x1,y1) e (x2,y2) que é dada por:

d = √(x2-x1)² + (y2-y1)²

√8 = √(a+1-2a)² + (a-1-0)²
√8 = √(1-a)² + (a-1)²
8 = (1-a)² + (a-1)²
A partir de agora, é possível desenvolver os produtos notáveis. Entretanto, vamos adotar o seguinte caminho: sabemos que
1-a = -1 · (a-1) = -(a-1) 
Vamos fazer essa substituição:
8 = [-(a-1)]² + (a-1)²
8 = (a-1)² + (a-1)²
2(a-1)² = 8
(a-1)² = 4
a-1 = ±√4
a-1 = ± 2
a = 1 ± 2
a1 = 1 + 2 = 3 ; a2 = 1 - 2 = -1
O enunciado estabelece que a é um número real positivo, logo a = 3.

Alternativa correta é a letra e).

Um outro caminho possível, é o seguinte, quando estávamos em

8 = (1-a)² + (a-1)²
Poderíamos ter desenvolvido os produtos notáveis e chegaríamos em

8 = 1 - 2a + a² + a² -2a + 1

Note que os dois desenvolvimentos são iguais. 

2(a² -2a + 1) = 8

Dividindo os dois lados por 2

a² -2a + 1 = 4  

E assim encontrar as raízes dessa equação do segundo grau com a fórmula de Bhaskara, ou com o método de completar quadrados, dentre outros.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFPR.

Um forte abraço e bons estudos.