(ENEM 2024) A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 km entre si, conforme o esquema, no qual o ponto H representa o local onde está construído o hospital; os pontos P1, P2 e P3, os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano.

triângulo equilátero

A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre 

A) 2 e 3.
B) 4 e 5.
C) 5 e 6.
D) 7 e 8.
E) 8 e 9.

Solução: uma questão de matemática (geometria plana) com uma contextualização bem interessante do ENEM 2024,  prova aplicada em 10/11/2024.

Neste problema, podemos notar que estamos diante de um triângulo equilátero cujo lado mede 10 km.  Os vértices deste triângulo equilátero são os três postos de saúde.

Em um triângulo, o circuncentro (ponto de encontro das mediatrizes) é equidistante dos vértices.  O hospital, ponto H, está no circuncentro deste triângulo, pois de acordo com o enunciado: "esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais."

Num triângulo equilátero, circuncentro, ortocentro, incentro e baricentro coincidem no mesmo ponto.

Nesta resolução, será muito útil a seguinte propriedade do baricentro (ponto de encontro das medianas) de um triângulo:

O baricentro divide cada mediana de um triângulo na proporção 2:1. Isso significa que a distância de um vértice P ao baricentro é o dobro da distância do baricentro ao ponto médio do lado oposto ao vértice P.

Na figura a seguir, o segmento de reta P1M é altura, mediana e bissetriz em relação ao lado P2P3.  No triângulo equilátero, os três ângulos internos são iguais a 60°.

triângulo equilátero - resolução



Podemos obter a altura h utilizando relações trigonométricas no triângulo retângulo P1P3M.

tg 60° = h/5
√3 = h/5
h = 5√3

O valor de h também pode ser obtido usando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo P1P3M.

h² + 5² = 10²
h² = 100 - 25
h² = 75 
h² = 3·5·5
h = 5√3

O que nós queremos é a distância do ponto H até os vértices, ou seja, nós queremos 2/3 de h:

(2/3)(5√3)
(10√3)/3 km

Sabemos que √3 ≅ 1,732.

10 × 1,8 = 18, dividindo 18 por 3 o resultado é 6.

10 × 1,5 = 15, dividindo 15 por 3 o resultado é 5.

Portanto, (10√3)/3 é um valor entre 5 e 6.

Alternativa correta é a letra (C).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do ENEM.

Um forte abraço e bons estudos.