(ENEM 2024) Um proprietário pretende instalar um sensor de presença para a proteção de seu imóvel. O sensor deverá detectar movimentos de objetos e pessoas numa determinada região plana. A figura ilustra a vista superior da área de cobertura (setor circular em azul) de um sensor colocado no ponto S. Essa área depende da medida do ângulo α, em grau, e do raio R, em metro.

(ENEM 2024) Um proprietário pretende instalar um sensor de presença para a proteção de seu imóvel. O sensor deverá detectar movimentos de objetos e pessoas numa determinada região plana. A figura ilustra a vista superior da área de cobertura (setor circular em azul) de um sensor colocado no ponto S. Essa área depende da medida do ângulo α, em grau, e do raio R, em metro.

Ao aumentar o ângulo α ou o raio R aumenta-se a área de cobertura do sensor. Entretanto, quanto maior essa área, maior o preço do sensor.

Para esse fim, há cinco tipos de sensores disponíveis no mercado, cada um com as seguintes características:

• tipo I: α = 15° e R = 20 m;
• tipo II: α = 30° e R = 22 m;
• tipo III: α = 40° e R = 12 m;
• tipo IV: α = 60° e R = 16 m;
• tipo V: α = 90° e R = 10 m.

Esse proprietário pretende adquirir um desses sensores que seja capaz de cobrir, no mínimo, uma área de medida 70 m², com o menor preço possível. 

Use 3 como valor aproximado para π. 

O proprietário do imóvel deverá adquirir o sensor do tipo 

(A) I.
(B) II.
(C) III.
(D) IV.
(E) V.

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Solução: questão de matemática (geometria plana) do ENEM 2024,  prova aplicada em 10/11/2024.

Para resolver essa questão, vamos utilizar a fórmula da área do setor circular quando trabalhamos com α em graus.

Área =   α  ·π·R²

               360

Na resolução desta questão, é possível simplificar um pouco mais essa fórmula, isto porque o enunciado pede para usar 3 como valor aproximado para π.

Área =   α  ·3·R²

               360

Área =   α  ·R²

               120

Nesta resolução, vamos denotar as áreas de cobertura dos cinco tipos de sensores disponíveis no mercado por A_I, A_II, A_III, A_IV e A_V.

De acordo com o enunciado, esse proprietário pretende adquirir um desses sensores que seja capaz de cobrir, no mínimo, uma área de medida 70 m², com o menor preço possível.   Além disso, quanto maior essa área, maior o preço do sensor.  Portanto, vamos procurar as áreas que sejam maiores ou iguais a 70 m² e escolheremos, dentre elas, a que tiver a menor área, pois será a opção mais barata.

Efetuando os cálculos:

A_I = (15/120)·20²=(1/8)·400=50 m² ✘

A_II = (30/120)·22²=(1/4)·484=121 m² ✓

A_III = (40/120)·12²=(1/3)·144=48 m² ✘

A_IV = (60/120)·16²=(1/2)·256=128 m² ✓

A_V = (90/120)·10²=(3/4)·100=75 m² ✓

Os sensores do tipo I e III devem ser descartados, pois não são capazes de cobrir, no mínimo, uma área de medida 70 m².

Já os demais sensores (II, IV e V) são capazes de cobrir essa área, sendo o do tipo V o mais barato, pois cobre a menor área.

Podemos concluir que dentre esses cinco tipos de sensores disponíveis no mercado, o proprietário do imóvel deverá adquirir o sensor do tipo V. 

Alternativa correta é a letra (E).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do ENEM.

Um forte abraço e bons estudos.