(FUVEST 2025) Em relação ao plano cartesiano Oxy, é correto afirmar que as equações x² + y² – 4x = –3 e x² + y² – 4y = –3 representam

(FUVEST 2025)  Em relação ao plano cartesiano Oxy, é correto afirmar que as equações x² + y² – 4x = –3   e    x² + y² – 4y = –3 representam

(A) duas circunferências com raios de mesma medida e que se interceptam em dois pontos.

(B) duas circunferências com raios de medidas diferentes e que se interceptam em dois pontos.

(C) duas circunferências que se interceptam em um único ponto.

(D) duas circunferências concêntricas e que não se interceptam.

(E) duas circunferências com centros distintos e que não se interceptam. 

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Solução: questão da Prova de Conhecimentos Gerais - FUVEST 2025, aplicada em 17/11/2024.

Em primeiro lugar, vamos obter as coordenadas dos centros e as medidas dos raios dessas duas circunferências.

x² + y² – 4x = –3

x² – 4x + 4 + y² = –3 + 4

(x – 2)² + (y – 0)² = 1

Coordenadas do centro: (2,0) 

Raio da circunferência: R = √1 = 1

x² + y² – 4y = –3

x² + y² - 4y + 4 = –3 + 4

(x – 0)² + (y – 2)² = 1

Coordenadas do centro: (0,2) 

Raio da circunferência: R = √1 = 1

Podemos notar que as duas circunferências possuem centros distintos.  Ambas possuem raio que mede 1, assim, a soma de seus raios vale (1+1) = 2. Vamos utilizar esse valor em breve para analisar a posição relativa entre as duas circunferências.  Na sequência, vamos obter a distância d entre os centros das duas circunferências.  

Na geometria analítica, podemos calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano por meio da

fórmula da distância entre dois pontos

(x1,y1) e (x2,y2) que é dada por:

d = √(x2-x1)² + (y2-y1)²

  (x1,y1) = (2,0)  

  (x2,y2) = (0,2)

d = √(0-2)² + (2-0)²

d = √(-2)² + (2)²

d = √4 + 4

d = √8

d = 2√2

Neste ponto, já podemos notar que a distância d entre os centros das circunferências é maior do que a soma de seus raios.  Sabemos que √2 ≅ 1,41 , para resolver essa questão é suficiente saber que √2 > 1, pois assim d > 2.  Os cálculos a seguir nem precisariam ser feitos, mas ficam também a título ilustrativo.

 d ≅ 2 · 1,41

 d ≅ 2,82

Podemos notar que a distância entre os centros das circunferências (que mede 2√2) é maior que a soma de seus raios (que mede 2), portanto, as duas circunferências não se interceptam.   

Alternativa correta é a letra (E).

Como exercício, você pode ilustrar essas duas circunferências no plano cartesiano.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da FUVEST.

Um forte abraço e bons estudos.