(FUVEST 2025) Seja (an) uma progressão aritmética cujo primeiro termo é a1 e a razão 𝑟, ambos números reais. É possível construir uma outra sequência (bn), em que o primeiro termo é um número real b1 e com a seguinte lei de formação 

bn+1 = bn + an ,

sendo 𝑛 > 0 um número natural. 

Por exemplo, se  b1 = 0 e

(an) = (1,3,5,7,9,11, ...),

tem-se

(bn) = (0,1,4,9,16,25, ...).

Com base em tais informações, os valores de a1 e 𝑟 foram escolhidos de forma que (bn) também seja uma progressão aritmética de razão 𝑟′. Nessas condições, é correto afirmar:

(A) r' = a1
(B) r' = 2a1
(C) r' = r
(D) r' = 2r
(E) r' = b1 – a1

Solução: questão da Prova de Conhecimentos Gerais - FUVEST 2025, aplicada em 17/11/2024.

Uma questão interessante sobre sequências, vamos analisar a lei de formação da sequência (bn).

bn+1 = bn + an  ,  sendo 𝑛 > 0 um número natural. 

Conforme exemplo do enunciado, inicia-se atribuindo um valor para b1, e a partir dele calculamos os seguintes:

b2 = b1 + a1 ,
b3 = b2 + a2 ,
b4 = b3 + a3 , e assim sucessivamente.

O objetivo é que (bn) seja uma PA de razão 𝑟′, sabemos que em uma progressão aritmética (PA), a partir do segundo termo, podemos obter cada termo somando ao termo anterior a razão, que é um valor sempre constante.

Neste caso, precisamos que a1, a2, a3, a4, ... , tenham sempre o mesmo valor, ou seja, precisamos que a progressão aritmética (an) seja constante.  Logo,

𝑟′ = a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = ... 

Portanto, a alternativa correta é a letra (A).

Vamos ver isso passo a passo a seguir escrevendo os primeiros termos da sequência (bn).   O valor de b1 é definido inicialmente, e a partir de b2, os valores seguintes são calculados.

→ n = 1;  

b1+1 = b1 + a1 
b2 = b1 + a1 


→ n = 2;  

b2+1 = b2 + a2 
b3 = b2 + a2 


→ n = 3;  

b3+1 = b3 + a3 
b4 = b3 + a3 

Assim, tem-se

(bn) = (b1, b1 + a1, b2 + a2, b3 + a3, ...).

Podemos notar que a partir do segundo termo, cada termo é igual ao termo anterior mais um valor (a1, depois a2, depois a3, ....).  O objetivo é que (bn) seja uma progressão aritmética de razão 𝑟′ , então 

𝑟′ = a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = ... 

Com essa construção, percebemos que a1, a2, a3, ... , precisam ter sempre o mesmo valor r' para a sequência (bn) ser PA:   (bn) = (b1, b1 + r', b2 + r', b3 + r', ...).  

A seguir, vamos verificar isso com um exemplo bem simples, considerando que a1 = 1 e que r = 0.   É importante escolher r = 0, pois assim a PA (an) será constante, ou seja, terá todos os seus termos iguais, vamos ver:

(an) = (a1, a1 + r, a2 + r, a3 + r, a4 + r, ...),

Atribuindo os valores.

(an) = (1,1,1,1,1, ...),

Agora, vamos escrever a sequência (bn), considerando que b1 = 10.

(bn) = (10,11,12,13,14, ...).

Assim, podemos notar que (bn) é uma PA de razão r' = 1, que é o mesmo valor de a1, a2, a3, a4, ...

Por último, vamos ver um outro exemplo, quando a1 = 1 e  r = 1.  Perceba que neste caso r é diferente de 0, portanto a PA (an) não será constante, logo, a sequência (bn) não será PA.

(an) = (1,2,3,4,5, ...),

E com ela vamos escrever a sequência (bn), considerando que b1 = 10.

(bn) = (10,11,13,16,20, ...).

Assim, podemos notar que (bn) não é uma PA, conforme já era esperado.

Um breve resumo da resolução: para que a sequência (bn) seja uma PA de razão r', então  (an)  precisa ser uma PA constante, para isso, sua razão r precisa ser igual a 0.  Assim, os termos a1, a2, a3, a4, ... serão todos iguais, e também serão iguais a razão r' da (bn).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da FUVEST.

Um forte abraço e bons estudos.